Question

11．空气中的颗粒物对人体健康有重要影响．有人利用除尘器对空气除尘，除尘器主要由过滤器、离子发生器（使颗粒物带电）、集尘器组成．如图所示为集尘器的截面 图，间距为d的上、下两板与直流电源相连，CD为匀强磁场的左边界，磁场的方向垂直纸面向里．质量均为m、带相等电荷量分布均匀的颗粒物，以水平速度v₀进入集尘器，调节电源电压至U，颗粒物在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动，再进入电场、磁场共存区域后颗粒物偏转碰到下板后其电量消失，同时被收集，设重力加速度为g，不计颗粒物之间的相互作用．
（1）判断颗粒物所带电荷的种类，并求其电荷量q；
（2）从C点靠近上板下表面的颗粒物进人电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点．求磁感应强度B₁的大小；
 （3）若收集点埘向左移动至N点（图中未标出），且满足∠DCN=30°，调整磁感应强度的大小至B，可以使从C点靠近上板下表面的颗粒物，汇集于N点，再改变磁场区域形状大小，可以使所有颗粒物都能汇集于N点便于收集，假设C点是该区域匀强磁场边界上的点，求此区域磁感应强度B₂的大小和匀强磁场区域的最小面积S．

Answer 1

分析 （1）颗粒物在复合场中做匀速直线运动，重力等于电场力，写出平衡方程，即可判断出颗粒物的电性，并求出电量；
（2）颗粒垂直进入电、磁场共存的区域，重力仍然与电场力平衡，合力等于洛伦兹力，颗粒物做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，写出动力学方程；结合轨迹中的几何关系即可求得磁感应强度；
（3）确定颗粒物运动的圆心，画出运动的轨迹，由几何关系求出半径与d的关系，然后结合洛伦兹力提供向心力，即可求得结果．

解答 解：（1）颗粒在电场中做匀速直线运动，有：q$\frac{U}{d}$=mg，解得：q=$\frac{mgd}{U}$，
由于电场的方向向下，电荷受到的电场力方向向上，可知颗粒带负电；
（2）颗粒垂直进入电、磁场共存的区域，重力仍然与电场力平衡，合力等于洛伦兹力，颗粒物做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$，
由几何关系可知颗粒物在该区域恰好完成$\frac{1}{4}$圆周运动，则半径：R₁=d，
解得：B₁=$\frac{{v}_{0}U}{g{d}^{2}}$；
（3）确定圆心O₁如图，由几何关系可得：
R₂+R₂sin30°=d

匀速圆周运动的半径为：R₂=$\frac{2}{3}$d，
由牛顿第二定律得：qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}}$，
解得：B₂=$\frac{3{v}_{0}U}{2g{d}^{2}}$，
由上式决定的磁感应强度的大小与方向，可知从C点射入的粒子在N点射出的轨迹是所求磁场的一个边界．
为确定另一个边界，我们采用逆向思维的方法，做出从N点射出的与下极板之间的夹角是θ的粒子运动的轨迹如图2，
则该磁场的左侧的边界也是一段圆弧，与过C到达N点的圆环具有对称性：
所求匀强磁场区域的最小面积如图中两个边界之间的部分，
为：S=2（$\frac{1}{3}$πR₂²-$\frac{\sqrt{3}{R}_{2}^{2}}{4}$）=$\frac{（8π-6\sqrt{3}）{d}^{2}}{27}$．
答：（1）颗粒物带负电荷，其电荷量q为$\frac{mgd}{U}$；
（2）磁感应强度B₁的大小为$\frac{{v}_{0}U}{g{d}^{2}}$；
 （3）此区域磁感应强度B₂的大小为$\frac{3{v}_{0}U}{2g{d}^{2}}$，匀强磁场区域的最小面积S为$\frac{（8π-6\sqrt{3}）{d}^{2}}{27}$．

点评 本题考查了带电粒子在电磁场中的运动，该题中判断出重力与电场力大小相等，方向相反，在存在磁场的区域中，颗粒物受到的合力等于洛伦兹力，并由洛伦兹力提供向心力，是解题的关键，常规题目，要注意按照规范化的解题步骤解题．