Question

16．如图所示，水平放置的平行金属板A和B的间距为d，极板长为2d；金属板右侧有三块挡板MN，NP，PM围成一个等腰直角三角形区域，顶角∠NMP=90°，MN挡板上的中点处有一个小孔K恰好位于B板右端，已知水平挡板NP的长度为$\overline{NP}$=2$\sqrt{2}$a．由质量为m、带电量为+q的同种粒子组成的粒子束，以速度v₀从金属板A、B左端沿板A射人，不计粒子所受的重力，若在A、B板间加一恒定电压，使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K．求：
（1）所施加的恒定电压大小；
（2）现允许在挡板围成的三角形区域内，加一垂直纸面的匀强磁场，要使从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能直接（不与其他挡板碰撞）打到挡板MP上，求所加磁场的方向和磁感应强度的范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可分析出带电粒子在两金属板间竖直方向的位移为d，水平位移为2d，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，运用类平抛运动的知识可求出所施加的恒定电压；
（2）根据题意，首先运用速度的合成求出带电粒子进入三角形区域时的速度，由速度方向和左手定则可得知磁场方向；再找出两个临界半径，一是带电粒子偏转轨道与NP相切时的轨道时的轨道半径，二是正好达到M点时的轨道半径，从而确定轨道半径的范围，由带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$即可求出所加磁场的磁感应强度范围．

解答 解：（1）由于带电粒子做类平抛运动，则有：
$2d={v}_{0}^{\;}t$①
$d=\frac{1}{2}\frac{q{U}_{0}^{\;}}{md}{t}_{\;}^{2}$②
联立①②解得：${U}_{0}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$③
（2）设粒子在进入K时，竖直方向的分速度为${v}_{y}^{\;}$，则有：
${v}_{y}^{\;}=at=\frac{q{U}_{0}^{\;}}{md}•\frac{2d}{{v}_{0}^{\;}}={v}_{0}^{\;}$④
$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=1$
得$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}$⑤
可知当θ=45°时，即粒子垂直MN板射入时，要使粒子直接打到MP板上，根据左手定则，可知所加磁场的方向垂直纸面向内，如图所示，当粒子进入磁场做匀速圆周运动，偏转半径最大时恰好与NP相切；偏转半径最小时，KM为运动圆周的直径，设最大半径为${R}_{M}^{\;}$，则由几何关系可知，△NMP与$△NQ{O}_{1}^{\;}$相似，则有：
$\frac{N{O}_{1}^{\;}}{NP}=\frac{{O}_{1}^{\;}Q}{MP}$
$\frac{a+{R}_{m}^{\;}}{2\sqrt{2}a}=\frac{{R}_{m}^{\;}}{2a}$
得：${R}_{m}^{\;}=（\sqrt{2}+1）a$⑥
因此粒子做圆周运动的半径范围为：
$\frac{a}{2}＜R＜（\sqrt{2}+1）a$⑦
由于粒子在磁场中做圆周运动，故洛伦兹力提供向心力，即：
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$⑧
联立⑤⑥⑦⑧式可得所加磁场的磁感应强度范围为：
$\frac{（2-\sqrt{2}）m{v}_{0}^{\;}}{qa}＜B＜\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}^{\;}}{qa}$
答：（1）所施加的恒定电压大小$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2a}$；
（2）现允许在挡板围成的三角形区域内，加一垂直纸面的匀强磁场，要使从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能直接（不与其他挡板碰撞）打到挡板MP上，所加磁场的方向垂直纸面向里和磁感应强度的范围$\frac{（2-\sqrt{2}）m{v}_{0}^{\;}}{qa}＜B＜\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}^{\;}}{qa}$

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，带电粒子在电场中的运动综合了静电场与力学的知识，分析方法和力学的分析方法基本相同，带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，关键是画出临界轨迹图，运用洛伦兹力提供向心力列式求解．