Question

2．如图所示，斜面C固定在水平地面上，倾角为θ=30°，A、B两物体放在斜面上，距离为d=7.5m，A与C的动摩擦因数为μ_A=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，B与C的动摩擦因数为μ_B=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，t=0时刻分别给A、B以沿斜面向上的初速度v_OA=7.5m/s，v_OB=15m/s，取g=10m/s²．求：
（1）上滑阶段A、B两物体的加速度大小；
（2）从开始到A、B相遇所经历的时间t．

Answer 1

分析 （1）对A、B由于牛顿第二定律求出加速度．
（2）A、B开始都做匀加速直线运动，由于牛顿第二定律求出它们的加速度，然后求出它们减速到零的运动时间，再由于匀变速直线运动的运动规律求出A、B相遇需要的时间．

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：
对A：m_Agsinθ+μ_Am_Agcosθ=m_Aa_A1，
代入数据解得：a_A1=7.5m/s²，
对B：m_Bgsinθ+μ_Bm_Bgcosθ=m_Ba_B1，
代入数据解得：a_B1=10m/s²；
（2）A、B向上做匀减速直线运动，做减速运动的时间为：
t_A=$\frac{{v}_{0A}}{{a}_{A}}$=$\frac{7.5}{7.5}$=1s，
t_B=$\frac{{v}_{B}}{{a}_{B}}$=$\frac{15}{10}$=1.5s，
t_B＞t_A，物体A先减速为零，物体A减速为零的过程中：
s_A1=$\frac{{v}_{0A}^{2}}{2{a}_{A1}^{\;}}$=$\frac{7．{5}^{2}}{2×7.5}$=3.75m，s_B1=v_0Bt_A-$\frac{1}{2}$a_B1t_A²=15×1-$\frac{1}{2}$×10×1²=10m，
d+s_A1＞s_B1，在此过程中A、B没有相遇；
此时A、B间的距离为：s=d+s_A1-s_B1=7.5+3.75-10=1.25m，
此时B的速度为：v_B=v_0B-a_Bt_A=15-10×1=5m/s，
由于μ_A＜tanθ，则m_Agsinθ＞μ_Am_Agcosθ，A速度变为零后将向下做加速运动，
对A，由牛顿第二定律得：m_Agsinθ-μ_Am_Agcosθ=m_Aa_A2，
代入数据解得：a_A2=2.5m/s²，
当A、B相遇时：s=$\frac{1}{2}$a_A2t′²+v_Bt′-$\frac{1}{2}$a_Bt′²，
代入数据解得：t′=$\frac{1}{3}$s，
A、B相遇需要的时间为：t=t_A+t′=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$s；
答：（1）上滑阶段A、B两物体的加速度大小分别为7.5m/s²、10m/s²；
（2）从开始到A、B相遇所经历的时间t为$\frac{4}{3}$s．

点评 本题考查了求加速度、相遇时间问题，由于两物体的运动过程复杂，本题难度较大，分析清楚物体的运动过程是解题的关键，由于牛顿第二定律与运动学公式可以解题．