Question

16．如图所示，三颗人造地球卫星a、b、c均围绕地球沿逆时针做匀速圆周运动，b、c在同一轨道上，均为地球同步卫星，图示时刻a、b恰好相距最近，b、c的轨道半径是a轨道半径的4倍，已知地球自转周期为24小时，下列说法中正确的是（　　）

• A． a的周期为6小时
• B． a的加速度为b加速度的16倍
• C． c卫星只要加速就能撞上b
• D． 卫星a和b下一次相距最近，还需经过的时间为$\frac{24}{7}$小时

Answer 1

分析 三颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，应用万有引力提供向心力列出等式比较求得卫星a的运行周期．
由万有引力提供向心力求出向心加速度；
c卫星要加速后，需要的向心力增大，将做离心运动；
某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，当两颗卫星转动角度相差2π时，即a比b多转一圈，相距最近．

解答 解：A、设地球质量为M，卫星A和B质量分别为m_a、m_b，两颗人造地球卫星a和b绕地球做匀速圆周运动，应用万有引力提供向心力列出等式：
$G\frac{M{m}_{a}}{{{r}_{a}}^{2}}={m}_{a}{（\frac{2π}{{T}_{a}}）}^{2}{r}_{a}$…①
$G\frac{M{m}_{b}}{{{r}_{b}}^{2}}={m}_{b}{（\frac{2π}{{T}_{b}}）}^{2}{r}_{b}$…②
由①②联立解得：${T}_{a}=\frac{1}{8}{T}_{b}=\frac{1}{8}×24h=3$h…③．故A错误；
B、由万有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=ma$
所以：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
所以：$\frac{{a}_{a}}{{a}_{b}}=\frac{{r}_{B}^{2}}{{r}_{A}^{2}}=\frac{16}{1}$．故B正确；
C、c卫星要加速后，需要的向心力增大，将做离心运动，不能能撞上b．故C错误；
D、设至少经过时间t它们再一次相距最近，此时a比b多转一圈，
即 $\frac{t}{{T}_{a}}-\frac{t}{{T}_{b}}=1$…④
由③④联立解得：t=$\frac{24}{7}$h．故D正确．
故选：BD

点评 本题既可应用万有引力提供向心力求解，也可应用开普勒行星运动定律求解，以后者较为方便，两卫星何时相距最远的求解，用到的数学变换相对较多，增加了本题难度．