Question

16．竖直平面内有一半径为R的光滑半圆形轨道，圆心为O，一小球以某一水平速度v₀从最高点A出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，OA和OB间的夹角为θ，不计空气阻力．下列说法中正确的是（　　）

• A． cosθ=$\frac{2}{3}$
• B． 在B点时，小球的速度为$\sqrt{gRcosθ}$
• C． A到B过程中，小球水平方向的加速度先增大后减小
• D． A到C过程中，小球运动时间大于$\sqrt{\frac{2R}{g}}$

Answer 1

分析 从A到B得过程中，根据动能定理求得到达B点的速度，在B点根据牛顿第二定律即可判断出夹角和速度，根据小球的临界点的加速度判断出从A到B得加速度变化，根据加速度在竖直方向的大小判断出下落时间

解答 解：A、小球下滑到B的过程中，根据动能定理可知mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
在B点根据牛顿第二定律可知mg$cosθ=\frac{m{v}^{2}}{R}$
联立解得cosθ=$\frac{2}{3}+\frac{{v}_{0}^{2}}{3gR}$，故A错误；
B、在B点根据牛顿第二定律可知，mgcos$θ=\frac{m{v}^{2}}{R}$，解得v=$\sqrt{gRcosθ}$，故B正确；
C、在最高点，水平方向的加速度为零，在下落到B之前，在水平方向有加速度，到达B点时，加速度为零，故A到B过程中，小球水平方向的加速度先增大后减小，故C正确；
D、从A到C做自由落体运动的时间为$t′=\sqrt{\frac{2R}{g}}$
小球从A到B得过程中，在竖直方向的加速度小于g，故从A到C得时间t$＜\sqrt{\frac{2R}{g}}$，故D错误；
故选：BC．

点评 考查竖直平面内的变速圆周运动与斜抛运动，涉及牛顿第二定律，向心力公式，向心加速度表达式．注意变速圆周运动速度方向不但变化，而且大小也发生变化．