Question

5．模拟我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径$\frac{1}{2}$，火星的质量是地球质量的$\frac{1}{9}$．已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，王跃在地球表面能向上竖直跳起的最大高度是h，忽略自转的影响，下列说法正确的是（　　）

• A． 火星的密度为$\frac{2g}{3πGR}$
• B． 火星表面的重力加速度是$\frac{4}{9}$g
• C． 火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相等
• D． 王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是$\frac{4}{9}$h

Answer 1

分析 求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先表示出来，在进行之比，根据万有引力等于重力，得出重力加速度的关系，根据万有引力等于重力求出质量表达式，在由密度定义可得火星密度；由重力加速度可得出上升高度的关系，根据万有引力提供向心力求出第一宇宙速度的关系

解答 解：AB、由$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，得到：$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$，已知火星半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{9}$，
则火星表面的重力加速度是地球表重力加速度的$\frac{4}{9}$，即为$\frac{4}{9}$g．选项B正确；
设火星质量为M′，由万有引力等于重力可得：$G\frac{M′m}{R{′}^{2}}=mg′$，
解得：$M′=\frac{g′R{′}^{2}}{G}$，密度为：$ρ=\frac{M′}{V}$=$\frac{2g}{3πGR}$．故A正确；
 C、由G$\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得到$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍．故C错误；
 D、王跃以v₀在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出可跳的最大高度是：$h=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，则能达到的最大高度是$\frac{9h}{4}$，选项D错误；
故选：AB

点评 此题是对万有引力定律的考查；关键是根据万有引力等于重力以及万有引力等于卫星做圆周运动的向心力导出重力加速度及第一宇宙速度的关系式，然后根据火星和地球的半径及质量关系求解讨论；此题难度中等．