Question

13．地面上有一个半径为R的圆形跑道，高为h的平台边缘上的P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为L（L＞R），如图所示．跑道上停有一辆小车，现从P点水平抛出小沙袋，使其落入小车中（沙袋所受空气阻力不计）．问：
（1）当小车分别位于A点和B点时（∠AOB=90°），沙袋被抛出时的初速度各为多大？
（2）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度在什么范围内？

Answer 1

分析 （1）小车分别位于A点和B点时，沙袋从P点开始做的都是平抛运动，根据在竖直方向上的自由落体运动，可以求得运动的时间，根据水平方向上的匀速直线运动可以求得沙袋的初速度的大小；
（2）小车在A点时水平的位移最小，此时的初速度也是最小的，当小车在B点时，水平的位移最大，此时的初速度是最大的，沙袋被抛出时的初速度应该在AB两点的初速度之间；

解答 解：（1）沙袋从P点被抛出后做平抛运动，设它的落地时间为t，则
h=$\frac{1}{2}$gt²
解得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$  ①
当小车位于A点时，有
x_A=v_At=L-R    ②
解①②得v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
当小车位于B点时，有
x_B=v_Bt=$\sqrt{{L}^{2}+{R}^{2}}$   ③
解①③得v_B=$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}+{R}^{2}）}{2h}}$
（2）若小车在跑道上运动，要使沙袋落入小车，最小的抛出速度为
v_0min=v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$  ④
若当小车经过C点时沙袋刚好落入，抛出时的初速度最大，有
x_c=v_0maxt=L+R    ⑤
解①⑤得 v_0max=（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
所以沙袋被抛出时的初速度范围为
（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
答：（1）（1）当小车静止于B点时（∠AOB=90°），沙袋被抛出时的初速度v₁应为$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}+{R}^{2}）}{2h}}$；
（2）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度范围为（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$

点评 本题是对平抛运动规律的考查，抓住运动中的位移、速度公式，学会对运动的分解，掌握几何关系在题中的运用．