Question

15．据每日邮报2014年4月18日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星．假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，在该行星“北极”距地面h处由静止释放-个小球（引力视为恒力），经时间t落到地面．已知该行星半径为R，自转周期为T，万有引力常量为G，求：
（1）该行星的平均密度ρ；
（2）该行星的第一宇宙速度v；
（3）如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面的高度h为多少．

Answer 1

分析 （1）先根据自由落体运动的公式h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$求解重力加速度g；对卫星，根据万有引力等于向心力列式求解星球质量；最后根据密度的定义公式求解星球的密度；
（2）对近地卫星，根据重力等于万有引力列式求解该行星的第一宇宙速度；
（3）对同步卫星，根据万有引力等于向心力列式求解．

解答 解：（1）设行星表面的重力加速度为g，对小球，有：
$h=\frac{1}{2}g{t^2}$，
解得：
$g=\frac{2h}{t^2}$
对行星表面的物体m，有：
$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，
故行星质量：
$M=\frac{{2h{R^2}}}{{G{t^2}}}$
故行星的密度：
$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}=\frac{3h}{{2πG{t^2}R}}$
（2）对处于行星表面附近做匀速圆周运动的卫星m，由牛顿第二定律，有：
$mg=m\frac{v^2}{R}$
故第一宇宙速度为：
$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2h}{t^2}R}$
（3）同步卫星的周期与星球自转周期相同，为T，由牛顿第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$
得同步卫星距行星表面高度：
$h=\root{3}{{\frac{{h{T^2}{R^2}}}{{2{π^2}{t^2}}}}}-R$
答：（1）该行星的平均密度ρ为$\frac{3h}{2πG{t}^{2}R}$；
（2）该行星的第一宇宙速度v为$\sqrt{\frac{2h}{{t}^{2}}R}$；
（3）如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面的高度h为$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}-R$．

点评 解答此题要清楚星球表面的物体受到的重力等于万有引力，星球的同步卫星所受的万有引力提供向心力．