Question

11．中国“嫦娥探月工程计划”预计在2017年将机器人送上月球，月球地表采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想“嫦娥”号登月飞船在月球表面附近圆形轨道绕行N圈所用时间为t，绕行的速度大小为v：
（1）估算月球的质量；
（2）若机器人在月球上能从深度为H的坑竖直跳到地面上，它起跳的速度至少为多大．（忽略月球自转的影响）

Answer 1

分析 （1）飞船在月球表面附近绕月球做圆周运动万有引力提供向心力，结合圆周运动的特点即可求出月球质量．
（2）飞船在月球表面附近的万有引力等于重力，可得月球表面的重力加速度，然后结合竖直上升的公式即可求出机器人起跳的速度．

解答 解：（1）登月飞船在月球表面附近圆形轨道绕行N圈所用时间为t，周期：T=$\frac{t}{N}$
周期与速度的关系：v=$\frac{2πR}{T}$
联立得：$R=\frac{vT}{2π}=\frac{vt}{2πN}$
万有引力提供向心力，则：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
所以：$M=\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}}{G{（\frac{t}{N}）}^{2}}•\frac{{v}^{3}{t}^{3}}{（2πN）^{3}}$=$\frac{{v}^{3}t}{2πNG}$
（2）在月球的表面，万有引力提供重力，即：$\frac{GMm′}{{R}^{2}}=m′g′$
所以：$g′=\frac{GM}{{R}^{2}}$
联立得：g′=$\frac{2πNv}{t}$
竖直上升的过程中：$2g′H={v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{2g′H}=2\sqrt{\frac{πNvH}{t}}$
答：（1）估算月球的质量是$\frac{{v}^{3}t}{2πNG}$；（2）它起跳的速度至少为$2\sqrt{\frac{πNvH}{t}}$．

点评 本题重点是利用好月球表面的自由落体运动，这种以在星球表面自由落体，或平抛物体，或竖直上抛物体给星球表面重力加速度的方式是比较常见的．