Question

15．宇航员在某星球表面完成下面实验：如图所示，在半径为r的竖直光滑圆弧轨道内部，有一质量为m的小球（可视为质点），在最低点给小球某一水平初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，测得轨道在最高点和最低点时所受压力大小分别为F₁、F₂；已知该星球的半径为R，引力常量G，则该星球的第一宇宙速度是（　　）

• A． $\sqrt{\frac{{（F}_{2}-{F}_{1}）R}{4m}}$
• B． $\sqrt{\frac{（{F}_{2}-{F}_{1}）}{6m}}$
• C． $\sqrt{\frac{{F}_{2}-{F}_{1}）R}{2m}}$
• D． $\sqrt{\frac{{（F}_{2}+{F}_{1}）R}{2m}}$

Answer 1

分析 根据最高点和最低点时所受压力大小，由运动的过程中机械能守恒以及利用在最高点和最低点合力提供向心力，求出重力加速度；再根据表面所受的重力提供向心力，求出第一宇宙速度．

解答 解：由题意根据合力提供向心力：
在最低点：F₂-mg=m$\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
在最高点：F₁+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
根据机械能守恒得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2r
解得：g=$\frac{{F}_{2}-{F}_{1}}{6m}$
用v₁表示该星球的第一宇宙速度，有：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
得：v₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{（{F}_{2}-{F}_{1}）R}{6m}}$，故B正确，ACD错误；
故选：B．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力两知识点．以及知道圆周运动的最高点和最低点是合力提供向心力，并掌握会推导第一宇宙速度表达式．