Question

8．如图所示，光滑圆管轨道AB部分平直且足够长，BC部分是处于竖直平面内的半圆，其中BC为竖直直径，一半径略小于轨道内径的光滑小球以水平速度v₀=5m/s射入圆管中，从C点水平射出时恰好对轨道无压力，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）半圆轨道的半径R；
（2）在小球从C点射出后在水平轨道AB外表面的落点与B点的水平距离．

Answer 1

分析 （1）小球经过C点时，恰好对轨道无压力，小球只受重力，并由重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式．再由A到C过程，由机械能守恒定律列式，联立求解R．
（2）小球从C点射出后做平抛运动，由平抛运动的规律求解．

解答 解：（1）小球经过C点时，由重力提供向心力，则有
   mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得 v_C=$\sqrt{gR}$
从A到C，由机械能守恒定律得 2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得 R=$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$=$\frac{{5}^{2}}{50}$m=0.5m
（2）小球从C点射出后做平抛运动，则有
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  x=v_Ct
解得 x=2R=1m
答：（1）半圆轨道的半径R是0.5m；
（2）在小球从C点射出后在水平轨道AB外表面的落点与B点的水平距离是1m．

点评 本题是机械能守恒定律与向心力知识的综合应用．对于小球在管子里的运动情形与轻杆模型类似，关键掌握临界条件．