Question

（1）某行星有一质量为m的卫星，卫星绕行星做匀速圆周运动，其运动半径为r，周期为T，求行星的质量（已知万有引力常量为G）．
（2）小钢球质量为m，沿光滑的轨道由静止滑下，轨道形状如图所示，与光滑轨道相接的圆形轨道的半径为R，要使小球沿光滑轨道恰能通过最高点，物体应从离轨道最低点多高的地方开始滑下？

Answer 1

分析：（1）研究卫星绕行星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量；
（2）要使小球能够通过圆轨道最高点，那么小球在最高点时应该是恰好是物体的重力作为物体的向心力，由向心力的公式可以求得此时的最小的速度，再由机械能守恒可以求得离地面的高度h．

解答：解：（1）设行星的质量为M．
由行星对卫星的万有引力提供向心力得G

Mm

r2

=

m4π2

T2

r
解之得M=

4π2r3

GT2

（2）小钢球恰能通过最高点时N=0
最高点时，由牛顿第二定律得mg=m

v2

R

…①
小球在下落过程中由机械能守恒定律得mgh=mg2R+

1

2

mv²…②
由①②解得h=2.5R
答：（1）行星的质量为

4π2r3

GT2

；
（2）物体应从离轨道最低点2.5R的地方开始滑下．

点评：（1）本题考查了万有引力在天体中的应用，解题的关键在于找出向心力的来源，并能列出等式解题．
（2）本题属于圆周运动中绳的模型，在最高点时应该是重力恰好做为圆周运动的向心力，对于圆周运动中的两种模型一定要牢牢的掌握住．