Question

固定凹槽的水平部分AB长为2L，其左侧BC是与水平部分平滑相接的半径为L/4的半圆轨道，BC与AB在同一竖直平面内，其右端固结一原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧a，弹簧左侧放置一长为L的筒，筒的左端开口，右端封闭，右端外侧与弹簧a不固结，筒内右端固结一同样规格的轻质弹簧，弹簧左侧放置一个小球，与弹簧b右端不固结。小球与筒内壁的滑动摩擦因数为，筒与凹槽的滑动摩擦因数为，半圆轨道光滑。如图所示，现将两个弹簧的长度均压缩为L/2，且用销钉K将小球和筒固定，发现筒恰好不滑动。现将K突然拔掉，同时对筒施加一方向水平向左的力F，使筒向左匀加速运动，直到筒撞击B处之后使筒立刻停止运动。已知小球的质量为m，筒的质量为2m，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略小球的直径、筒壁和筒底的厚度、筒的内径、外径。

（1）若要求在筒撞击B处之前，弹簧b长度未变，试求该力初始值的取值范围；

（2）若该力初始值为，且小球从C处落回后，恰好未撞击筒，求该力在筒撞击B处之前做的功。

Answer 1

(1)  (2)

解析:

（1）由于筒恰好不动，对筒和小球：        ……………1分

拔掉销钉，设小球所允许的加速度最大值是,应有   ……………1分

最小值是，应有                      ………………………1分

刚拔掉销钉时，对筒和小球：         …………………1分

且

以上解得：              ……………………………1分

（2）刚拔掉销钉时，对筒和小球：   ……………1分

设撞击B处之前，系统速度是，则   ………………1分

而从C处抛出时的速度设为,由平抛运动公式有 ，  ……………2分

从拔掉销钉到撞击B处，对小球，由动能定理有…3分

对筒和小球整体，由动能定理有                ……………3分

而由于两只弹簧规格相同，变化过程相同，有               …………1分

以上解得                  …………………………2分