Question

13．“嫦娥三号卫星”简称“嫦娥三号”，专家称“三号星”，是嫦娥绕月探月工程计划中嫦娥系列的四散颗人造绕月探月卫星．若“三号星”在离月球表面距离为h的圆形轨道绕月球飞行，周期为T₁．若已知地球中心和月球中心距离为地球半径R的n倍，月球半径r，月球公转周期T₂，引力常量G，求：
（1）月球的质量；
（2）地球受月球的吸引力．

Answer 1

分析 （1）对卫星根据万有引力提供向心力$G\frac{{M}_{月}m}{{（r+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（r+h）}{{T}^{2}}$，化简可得月球的质量．
（2）月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据向心力公式列式即可求解．

解答 解：（1）“嫦娥三号卫星”绕月球做匀速圆周运动，则有：$G\frac{{M}_{月}m}{{（r+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（r+h）}{{{T}_{1}}^{2}}$，
解得：${M}_{月}=\frac{4{π}^{2}（r+h）^{3}}{{{GT}_{1}}^{2}}$
（2）月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有
F=${M}_{月}\frac{4{π}^{2}nR}{{{T}_{2}}^{2}}$
则地球受月球的吸引力F′=${M}_{月}\frac{4{π}^{2}nR}{{{T}_{2}}^{2}}$=$\frac{16{π}^{4}nR（r+h）^{3}}{{G{{T}_{1}}^{2}{T}_{2}}^{2}}$．
答：（1）月球的质量为$\frac{4{π}^{2}{（r+h）}^{3}}{{{GT}_{1}}^{2}}$；
（2）地球受月球的吸引力为$\frac{16{π}^{4}nR{（r+h）}^{3}}{{G{{T}_{1}}^{2}{T}_{2}}^{2}}$．

点评 本题要掌握万有引力提供向心力公式，要求能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．