Question

19．如图所示，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A，B和C分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB长为$\sqrt{2}$R，AC长为2$\sqrt{2}$R．现沿AB和AC建立两条光滑轨道，自A处由静止释放小球，已知小球沿AB轨道运动到B点所用时间为t₁，沿AC轨道运动到C点所用时间为t₂，求t₁、t₂的值（已知重力加速度为g）．

Answer 1

分析 设AB和AC间的夹角为θ，根据几何关系求出cosθ，小球沿ab做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出加速度，再根据匀变速直线运动位移时间公式求出时间．

解答 解：设AB与竖直方向的夹角为θ，则：AB=2Rcosθ                          
由牛顿第二定律得物体沿AB下滑的加速度为：a=gcosθ       
解得在AB上运动的时间为：t₁=$\sqrt{\frac{2\overline{AB}}{a}}$=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
同理设AB与竖直方向的夹角为α，则：AC=4Rcosα
由牛顿第二定律得物体沿AC下滑的加速度为：a=gcosα
可知物体在AC上运动的时间为：t₂=$\sqrt{\frac{2\overline{AC}}{a}}$=$\sqrt{\frac{8R}{g}}$
答：小球沿AB轨道运动到B点所用时间为2$\sqrt{\frac{R}{g}}$，沿AC轨道运动到C点所用时间为$\sqrt{\frac{8R}{g}}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律以及运动学基本公式的直接应用，解题时要分析清楚小球的运动情况，并能结合几何关系求解，难度适中．