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    14．过山车是游乐场中常见的设施．如图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，设AB=BC=CD=L，半径R1=3.0m、R2=2.0m、R3=3.0m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以某一初速度沿轨道向右运动，小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.5，圆形轨道是光滑的，圆形轨道间不相互重叠，条件满足可从第一圆轨道运动到第二、第三圆轨道．重力加速度取g=10m/s2，计算结果可用根式表示，试求：
    （1）如果小球恰能通过第一个和第二个圆形轨道的最高点，两圆轨道间距L应是多少？
    （2）如果L取第一问结果，保证小球在运动过程中不脱离第三个圆形轨道，求小球在A点的初速度满足的条件．

    分析 （1）小球恰好通过圆轨道最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球通过两个圆轨道最高点的速度，再由动能定理求L．
    （2）小球在运动过程中不脱离第三个圆形轨道，有两种可能：一、小球在第三圆轨道中做完整的圆周运动．二、小球在下半圆内运动．根据牛顿第二定律求出最高点的临界速度，由动能定理求初速度的范围．

    解答 解：（1）设恰好通过第一圆轨道最高点速度为v1，恰好通过第二圆轨道最高点速度为v2，则有：
    mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，
    mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$ 
    小球由第一圆轨道最高点到第二圆轨道最高点过程有：
    mg（2R1-2R2）-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
    联立①②③得：L=5m
    （2）要使小球不脱离第三圆轨道，应满足小球能通过第三圆轨道最高点，或满足通过第二圆轨道最高点并且在第三圆轨道上升的最大高度h≤R3．
    设初速度v0=v01时恰好通过第三圆轨道最高点，此时速度为v3，则有：mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{{R}_{3}}$
    由动能定理得：
    -μmg（3L）-mg•2R3=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
    解得：v01=10$\sqrt{3}$m/s
    设初速度v0=v02时恰好通过第二圆轨道最高点，则有：
    mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
    由动能定理得：
    -μmg（2L）-mg•2R2=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
    解得：v02=10$\sqrt{2}$m/s
    设初速度v0=v03时通过第二圆轨道最高点并恰好能上升到达第三圆轨道h=R3处，则
    -mgh-μmg（3L）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
    解得：v03=$\sqrt{210}$m/s
    综上所述，要使小球不脱离第三圆轨道，应满足：v0≥10$\sqrt{3}$m/s或10$\sqrt{2}$m/s≤v0≤$\sqrt{210}$m/s．
    答：（1）如果小球恰能通过第一个和第二个圆形轨道的最高点，两圆轨道间距L应是5m．
    （2）小球在A点的初速度满足的条件是：v0≥10$\sqrt{3}$m/s或10$\sqrt{2}$m/s≤v0≤$\sqrt{210}$m/s．

    点评 本题综合运用了动能定理和牛顿第二定律，关键要把握竖直平面圆周运动最高点的临界条件，运用动能定理解题注意要合理地选择研究的过程，列表达式求解．

    练习册系列答案
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    （1）A的电量是B的3倍，则A对B的库仑力是B对A的库仑力的1倍．
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    （3）A的电量不变，B的电量变为原来的9倍，欲使相互作用力不变，A、B间距应为原来的3倍．
    （4）A、B间距增为原来的3倍，带电量均不变，则相互作用力变为原来的$\frac{1}{9}$倍．

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    B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压R
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