Question

如图甲所示，水平加速电场的加速电压为U₀，在它的右侧有由水平正对放置的平行金属板a、b构成的偏转电场，已知偏转电场的板长L=0.10m，板间距离d=5.0×10^-2m，两板间接有如图15乙所示的随时间变化的电压U，且a板电势高于b板电势．在金属板右侧存在有界的匀强磁场，磁场的左边界为与金属板右侧重合的竖直平面MN，MN右侧的磁场范围足够大，磁感应强度B=5.0×10^-3T，方向与偏转电场正交向里（垂直纸面向里）．质量和电荷量都相同的带正电的粒子从静止开始经过电压U₀=50V的加速电场后，连续沿两金属板间的中线OO′方向射入偏转电场中，中线OO′与磁场边界MN垂直．已知带电粒子的比荷

q

m

=1.0×10⁸C/kg，不计粒子所受的重力和粒子间的相互作用力，忽略偏转电场两板间电场的边缘效应，在每个粒子通过偏转电场区域的极短时间内，偏转电场可视作恒定不变．
（1）求t=0时刻射入偏转电场的粒子在磁场边界上的入射点和出射点间的距离；
（2）求粒子进入磁场时的最大速度；
（3）对于所有进入磁场中的粒子，如果要增大粒子在磁场边界上的入射点和出射点间的距离，应该采取哪些措施？试从理论上推理说明．

Answer 1

（1）设经过加速电场加速后，粒子的速度为v₀，
由动能定理得：qU0=

1

2

mv02，
解得：v₀=

2qU0 m

=1.0×10⁵m/s，
由于t=0时刻偏转电场的场强为零，此时射入偏转电场的粒子将匀速穿过电场而以v₀的速度垂直磁场边界进入磁场中，
在磁场中的运动轨迹为半圆．设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m

v02

r

，解得r=

mv0

qB

，
粒子在磁场边界上的入射点和出射点间的距离d=2r=0.40m；
（2）设粒子以最大偏转量离开偏转电场，即轨迹经过金属板右侧边缘处，
进入磁场时a、b板的电压为U_m，则粒子进入偏转电场后，加速度a=

qUm

m

，
在水平方向 L=v₀t，在竖直方向 y=

1

2

at²，
解得Um=

2U0d2

L2

=25v＜50v；
电压U_m=25V时对应粒子进入磁场的速度最大，
设最大速度大小为v_m，方向与OO′的夹角为q，
则对于粒子通过加速电场和偏转电场的过程，
由动能定理得：qU₀+q=

1

2

mv_m ，
解得v_m=

2qU0 m + qUm m

=

5

2

×10⁵m/s=1.1×10⁵m/s，
tanθ=

vy

v0

=

1

2

，即θ=arctan

1

2

，
（或cosθ=

v0

vm

=

2

5

5

，即θ=arccos

2

5

5

）
（3）设任意时刻进入磁场的粒子，其进入磁场时速度方向与OO′的夹角为α，
则其速度大小 v=

v0

cosα

，
粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径 R=

mv

qB

=

mv0

qBcosα

，
由如图答-3所示的几何关系可知，粒子在磁场边界上的入射点和出射点间的距离
x=2Rcosα=

2mv0

qB

=

2

B

2mU0 q

，
所以要增大粒子在磁场边界上的入射点和出射点间的距离x，应该减小匀强磁场的磁感应强度B，或增大加速电压U₀；
答：（1）t=0时刻射入偏转电场的粒子在磁场边界上的入射点和出射点间的距离为0.4m．
（2）粒子进入磁场时的最大速度为1.1×10⁵m/s．
（3）增大粒子在磁场边界上的入射点和出射点间的距离x，应该减小匀强磁场的磁感应强度B，或增大加速电压U₀．