Question

8．如图所示，将质量为10kg的小球用轻绳挂在倾角为α=45°的光滑斜面上，下列情况中斜面向右加速运动，小球相对斜面静止，问：（g取10m/s²）
（1）当加速度a=$\frac{10}{3}$m/s²时，绳对小球的拉力多大？
（2）当绳对小球的拉力F_T=200N时，它们的加速度多大？

Answer 1

分析 首先判断小球是否飞离了斜面，根据小球刚刚飞离斜面的临界条件，即绳子的倾角不变，斜面的支持力刚好为零，解出此时的加速度与题目给出的加速度大小进行比较，若给出加速度大于小球的临界加速度说明小球已经飞离了斜面，否则小球还在斜面上．

解答 解：当加速度a较小时，小球与斜面一起运动，此时小球受重力、绳子拉力和斜面的支持力，绳子平行于斜面；当加速度a足够大时，小球将飞离斜面，此时小球仅受重力与绳子的拉力作用，绳子与水平方向的夹角未知，而题目要求出当斜面以$\frac{10}{3}$m/s²的加速度向右做加速运动时，绳的拉力及斜面对小球的弹力，必须先求出小球离开斜面的临界加速度a₀，（此时小球所受斜面的支持力恰好为零）小球的受力如图：
                                   
当小球对斜面的压力为零时，小球只受重力和拉力，合力水平向右
mgcot45°=ma
a=gcot45°=g=10m/s²
拉力T=mgtan45°=100N
（1）当斜面以加速度a=$\frac{10}{3}$m/s²沿图示方向运动时，小于10m/s²，所以斜面对球有弹力，
所以有：Fsin45°+Tsin45°=mg…①
Fcos45°-Tcos45°=ma…②
联立①②解得：F=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$mg=$\frac{200\sqrt{2}}{3}N$
（2）当F_T=200N＞100N时，小球将飞离斜面，此时小球受两个力作用
绳与水平方向的夹角为θ
则小球只受重力和绳拉力，两力的合力在水平方向，根据牛顿第二定律有：
竖直方向有：F_Tsinθ=mg
水平方向有：F_Tcosθ=ma
联列解得：a=$10\sqrt{3}m/{s}^{2}$
答：（1）当加速度a=$\frac{10}{3}$m/s²时，绳对小球的拉力为$\frac{200\sqrt{2}}{3}N$
（2）当绳对小球的拉力F_T=200N时，它们的加速度为$10\sqrt{3}m/{s}^{2}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律的直接应用，要求同学们能正确对小球进行受力分析，知道当斜面对小球的支持力为零时，斜面和小球向右运动的加速度最大，难度适中．