Question

（2006?淮安二模）火星质量是地球质量的0.1倍，半径是地球半径的0.5倍，火星被认为是除地球之外最有可能有水（有生命）的星球，北京时间2004年1月4日12时35分，在经历了206天、4.8亿公里星际旅行的美国火星探测器“勇气号”成功在火星表面上着陆，据介绍，“勇气号”在进入火星大气层之间的速度大约是声速的16倍．为了保证“勇气号”安全着陆，科学家给它配备了隔热舱、降落伞、减速火箭和气囊等，进入火星大气层后，先后在不同时刻，探测器上的降落伞打开、气囊开始充气、减速火箭点火，当探测器在着陆前3s时，探测器的速度减为零，此时，降落伞的绳子被切断，探测器自由落下，求探测器自由下落的高度（假设地球和火星均为球体，由于火星的气压只有地球的大气压强的1%，则探测器所受阻力可忽略不计，取地球表面的重力加速度g=10m/s²）

Answer 1

分析：在星球表面处重力等于万有引力

GMm

R2

=mg，得g=

GM

R2

，根据火星与地球的质量比和半径比，计算可得它们的表面重力加速度之比，从而可知火星表面的重力加速度．
再根据自由落体运动的规律求探测器自由下落的高度．

解答：解：设地球质量为M_地，火星质量为M_火，地球半径为R_地，火星半径为R_火，地球表面处的重力加速度为g_地，火星表面处的加速度为g_火，根据万有引力定律：
物体在地球表面上时有 G

M地m

R 2 地

=mg地
同理，物体在火星表面上时有G

M火m

R 2 火

=mg火
由②/①得：

g火

g地

=

M火

M地

?(

R地

R火

)2=

1

10

×22=0.4g火=0.4×g地=4m/s2
由题意知，探测器在着陆前3s时开始做自由落体运动，设探测器自由下落的高度为h，则h=

1

2

g火t2=

1

2

×4×32m=18m
答：探测器自由下落的高度为18m．

点评：由重力等于万有引力得到g=

GM

R2

，通常称为黄金代换式，可以用来研究星球表面的重力加速度．