Question

7．如图所示，水平圆筒内有一轻弹簧，其前端有一质量为m₁=0.2Kg的物块A（可视为质点），T为一卡环，释放T后物块A被压缩的弹簧弹出，物块沿半径R=3.6m的光滑半圆轨道MN最低点的切线进入轨道，并恰好通过最高点N．质量为m₂=0.1Kg的长木板B放置于水平地面，其上表面与半圆轨道圆心O等高．物块A从N点飞出后刚好落在长木板B的最左端，并只保留了水平速度．物块A与木板B之间的动摩擦因数为μ₁=0.4，木板B与地面之间的动摩擦因数为μ₂=0.2，物块A恰好没有从木板B上掉下来，g=10m/s²．求：

（1）木板最左端到轨道圆心O的初始距离x；
（2）弹簧储存的弹性势能E_p；
（3）木板长度L．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出A到达N点的速度，A离开N后做平抛运动，应用平抛运动规律求出x．
（2）由机械能守恒定律求出弹簧的弹性势能．
（3）由牛顿第二定律求出 加速度，然后应用匀变速直线运动的速度公式与速度位移公式求出木板的长度．

解答 解：（1）A恰好到达N点，在N点重力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入数据解得：v=6m/s，
A离开N后做平抛运动，
竖直方向：R=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：x=vt，
代入数据解得：x=3.6$\sqrt{2}$m；
（2）从释放弹簧到N点过程，由机械能守恒定律得：
E_P=m₁g•2R+$\frac{1}{2}$m₁v²，
代入数据解得：E_P=18J；
（3）由牛顿第二定律得：
对A：μ₁m₁g=m₁a₁，
解得：a₁=4m/s²，
对B：μ₁m₁g-μ₂（m₁+m₂）g=m₂a₂，
解得：a₂=2m/s²，
A做匀减速直线运动，B做匀加速直线运动，最终两者速度相等，然后一起做匀减速直线运动，两者的共同速度为v′，由速度公式得：
v′=v-a₁t，v′=a₂t，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：x_A=$\frac{{v}^{2}-v{′}^{2}}{2{a}_{1}}$，x_B=$\frac{v{′}^{2}}{2{a}_{2}}$，
木板长度：L=x_A-x_B，
代入数据解得：L=3m；
答：（1）木板最左端到轨道圆心O的初始距离x为3.6$\sqrt{2}$m；
（2）弹簧储存的弹性势能E_p为18J；
（3）木板长度L为3m．

点评 本题是一道力学综合题，难度较大，分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、平抛运动规律、牛顿第二定律与运动学公式可以解题；解题时注意临界条件的应用：A恰好到达N点，重力提供向心力．