Question

3．如图，一个质量为0.3kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力）．已知圆弧的半径R=0.3m，θ=60°，小球到达A点时的速度v=6m/s．（取g=10m/s）求：
（1）小球做平抛运动的初速度v₀；
（2）P点与A点的水平距离和竖直高度；
（3）若小球到达圆弧最高点C时速度为3$\sqrt{3}$m/s求此时球对轨道的压力大小．

Answer 1

分析 （1）恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，说明到到A点的速度v_A方向与水平方向的夹角为θ，这样可以求出初速度v₀；
（2）平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据平抛运动的基本规律求出P点与A点的水平距离和竖直距离；
（3）在C点，重力和弹力的合力提供向心力，根据向心力公式和牛顿第二定律列式求出小球在最高点C时对轨道的压力．

解答 解：（1）小球到A点的速度如图所示，由图可知
v₀=v_x=v_Acosθ=6×cos60°=3m/s 
（2）根据平抛运动的分运动公式，有：
${v}_{y}={v}_{A}sin60°=3\sqrt{3}m/s$
由平抛运动规律得：
${{v}_{y}}^{2}=2gh$
h=1.35m，
v_y=gt
x=v₀t
解得：x=0.9$\sqrt{3}$m
（3）由圆周运动向心力公式得：
${N}_{C}+mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
代入数据得：
N_C=24N
由牛顿第三定律得：小球对轨道的压力大小：N_C′=N_C=24N．
答：（1）小球做平抛运动的初速度v₀为3m/s；
（2）P点与A点的水平距离为0.9$\sqrt{3}$m，竖直高度为1.35m；
（3）若小球到达圆弧最高点C时速度为3$\sqrt{3}$m/s，则此时球对轨道的压力大小为24N．

点评 本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，本题第三问中C点速度可以利用动能定理求解出来．