Question

4．如图，一质量为m、电荷量为q的带负电粒子A在一圆周上绕位于圆心O点的点电荷+Q做顺时针方向、半径为R的匀速圆周运动，则粒子A绕O点做圆周运动的周期为2π$\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{kQq}}$；质量为m、电荷量为3q的带负电粒子B在同一圆周上同向运动，某时刻A、B所在半径间的夹角为α．不计彼此间的万有引力以及A、B间的库仑力．已知静电力常量为k．则经过$\frac{π-α}{\sqrt{3}-1}\sqrt{\frac{kQq}{m{R}^{3}}}$时间A、B之间的距离第一次达到最大．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律，结合库仑力提供向心力，即可求解周期，题意可知，当AB之间的夹角为π时，相距最远，则B必须比A多绕（π-α），据此列式求解即可．

解答 解：粒子A绕O点做圆周运动，根据库仑力提供向心力，则有：
$k\frac{Qq}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{kQq}}$
同理，对B根据库仑力提供向心力有$T′=2π\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{3kQq}}$，
由题意可知，当AB之间的夹角为π时，相距最远，则B必须比A多绕（π-α）；
因此（π-α）=（ω_B-ω_A）•△t；
根据$ω=\frac{2π}{T}$，可得：（π-α）=（$\frac{2π}{T′}-\frac{2π}{T}$）△t．
解得：△t=$\frac{π-α}{\sqrt{3}-1}\sqrt{\frac{kQq}{m{R}^{3}}}$
故答案为：2π$\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{kQq}}$，$\frac{π-α}{\sqrt{3}-1}\sqrt{\frac{kQq}{m{R}^{3}}}$

点评 考查牛顿第二定律的应用，掌握库仑定律与向心力表达式的内容，注意当AB之间的夹角为π时，相距最远是解题的关键．