Question

从地面上以初速度v₀竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t₁时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v₁，且落地前球已经做匀速运动．求：

（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；
（2）球抛出瞬间的加速度大小；
（3）球上升的最大高度H．

Answer 1

分析：（1）直接运用动能定理可求解球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功-Wf=

1

2

mv12-

1

2

mv02．
（2）落地前匀速运动，则mg-kv₁=0．刚抛出时加速度大小为a₀，则根据牛顿第二定律mg+kv₀=ma₀，即可解得球抛出瞬间的加速度大小a₀．
（3）上升时根据牛顿第二定律-（mg+kv）=ma可计算加速度a，取极短△t时间，速度变化△v，有：△v=a△t，上升全程∑△v=0-v₀=∑a△t，把a值代入，分析计算，可求得球上升的最大高度H．

解答：解：（1）由动能定理得
Wf=

1

2

mv12-

1

2

mv02
克服空气阻力做功
W=-Wf=

1

2

mv02-

1

2

mv12
（2）空气阻力f=kv
落地前匀速运动，则mg-kv₁=0
刚抛出时加速度大小为a₀，则
mg+kv₀=ma₀
解得a0=(1+

v0

v1

)g
（3）上升时加速度为a，-（mg+kv）=ma
a=-g-

k

m

v
取极短△t时间，速度变化△v，有：
△v=a△t=-g△t-

k

m

v△t
又v△t=△h
上升全程∑△v=0-v0=-g∑△t-

k

m

∑△h
则v0=gt1+

k

m

H
H=

(v0-gt1)v1

g

答：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功为

1

2

mv02-

1

2

mv12；
（2）球抛出瞬间的加速度大小为(1+

v0

v1

)g；
（3）球上升的最大高度H为

(v0-gt1)v1

g

．

点评：本题综合运用了动能定理和牛顿运动定律，运用动能定理和牛顿运动定律解题注意要合理地选择研究的过程，列表达式求解．本题第（3）问较难，对数学的要求较高．