Question

8．某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为s．比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v₀时，再以v₀做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ₀，如图所示．设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g．
（1）求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；
（2）在加速跑阶段，为使乒乓球相对球始终静止，需随时调整球拍倾角θ，求倾角θ随速度v变化的关系式；
（3）若该同学匀速跑阶段球拍的倾角比θ₀大了β并保持不变，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件．此时球所受空气阻力可视为与球拍倾角为θ₀时的一样．

Answer 1

分析 （1）在匀速运动阶段，受力平衡，根据平衡条件列式即可求解；
（2）加速阶段，设球拍对球的支持力为N′，根据牛顿第二定律即可求解；
（3）根据牛顿第二定律求出球沿球拍面下滑的加速度，当球运动的位移小于等于r时，球不从球拍上掉落，根据运动学基本公式列式即可求解．

解答 解：（1）在匀速运动阶段，有：mgtanθ₀=kv₀
得：k=$\frac{mgtan{θ}_{0}}{{v}_{0}}$
（2）加速阶段，设球拍对球的支持力为N′，有：
N′sinθ-kv=ma
N′cosθ=mg
得tanθ=$\frac{a}{g}+\frac{v}{{v}_{0}}$tanθ₀
（3）以速度v₀匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有：F=$\frac{mg}{cos{θ}_{0}}$
球拍倾角为θ₀+β时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a′，有：
Fsinβ=ma′
设匀速跑阶段所用时间为t，有：t=$\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}$
球不从球拍上掉落的条件为：$\frac{1}{2}$a′t²≤r
得：sinβ≤$\frac{2rcos{θ}_{0}}{g（{\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}）}^{2}}$
答：（1）空气阻力大小与球速大小的比例系数k为$\frac{mgtan{θ}_{0}}{{v}_{0}}$；
（2）在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式为tanθ=$\frac{a}{g}+\frac{v}{{v}_{0}}$tanθ₀；
（3）β应满足的条件为sinβ≤$\frac{2rcos{θ}_{0}}{g{（\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}）}^{2}}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律及运动学基本公式的应用，要求同学们能正确受力分析，难度适中．