Question

4．一质点从O点由静止出发做匀加速直线运动，途经A、B、C三点和D、E、F三点，AB间距离为S₁，BC间距离为S₂，且过AB和BC段时间相等；而DE段和EF段距离相等，过DE段的平均速度为v₁，过EF段的平均速度为v₂．则OA间距离和过E点的速率分别为（　　）

• A． $\frac{（3{S}_{1}-{S}_{2}）^{2}}{8（{S}_{2}-{S}_{1}）}$；$\frac{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}{{v}_{2}-{v}_{1}}$
• B． $\frac{（3{S}_{1}-{S}_{2}）^{2}}{8（{S}_{2}-{S}_{1}）}$；$\frac{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$
• C． $\frac{（3{S}_{1}-{S}_{2}）^{2}}{8（{S}_{2}+{S}_{1}）}$；$\frac{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}{{v}_{2}-{v}_{1}}$
• D． $\frac{（3{S}_{1}+{S}_{2}）^{2}}{8（{S}_{2}-{S}_{1}）}$；$\frac{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$

Answer 1

分析 在ABC过程中，根据$△s=a{T}_{\;}^{2}$求出加速度a，由平均速度等于中间时刻的瞬时速度求出B点速度，根据速度位移公式求出OB距离，结合几何关系求出OA间的距离；DEF过程中，由平均速度的定义式求出DF两点间的平均速度，再运用平均速度推论公式求出E点的瞬时速度

解答 解：设AB和BC所用时间分别为T，根据逐差法可得：
${s}_{2}^{\;}-{s}_{1}^{\;}=a{T}_{\;}^{2}$
解得：$a=\frac{{s}_{2}^{\;}-{s}_{1}^{\;}}{{T}_{\;}^{2}}$
B为AC过程的中间时刻，故有：${v}_{B}^{\;}=\frac{{s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}}{2T}$
故OB之间的距离为：${x}_{OB}^{\;}=\frac{{v}_{B}^{2}}{2a}=\frac{（\frac{{s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}}{2T}）}{2\frac{{s}_{2}^{\;}-{s}_{1}^{\;}}{{T}_{\;}^{2}}}=\frac{（{s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}{8（{s}_{2}^{\;}-{s}_{1}^{\;}）}$
故有：${x}_{OA}^{\;}={x}_{OB}^{\;}-{s}_{1}^{\;}=\frac{（3{s}_{1}^{\;}-{s}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}{8（{s}_{2}^{\;}-{s}_{1}^{\;}）}$
在DEF过程中，根据匀变速直线运动平均速度规律可得DF的平均速度为：$\frac{{v}_{D}^{\;}+{v}_{F}^{\;}}{2}={v}_{3}^{\;}$，
设DE=EF=s，则DF的平均速度为：${v}_{3}^{\;}=\frac{2s}{\frac{s}{{v}_{1}^{\;}}+\frac{s}{{v}_{2}^{\;}}}=\frac{2{v}_{1}^{\;}{v}_{2}^{\;}}{{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}}$，
又知道$\frac{{v}_{D}^{\;}+{v}_{E}^{\;}}{2}={v}_{1}^{\;}$，$\frac{{v}_{E}^{\;}+{v}_{F}^{\;}}{2}={v}_{2}^{\;}$
联立可得：${v}_{E}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}}{{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}}$，故B正确，ACD错误；
故选：B

点评 做分析匀变速直线运动情况时，其两个推论能使我们更为方便解决问题，一、在相等时间内走过的位移差是一个定值，即$△x=a{T}_{\;}^{2}$，二、在选定的某一过程中，中间时刻的瞬时速度等于该过程中的平均速度