Question

10．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为r_A=8.0×10⁴km和r_B=1.2×10⁵ km，忽略所有岩石颗粒间的相互作用．（结果可用根式表示）
（1）求岩石颗粒A和B的线速度之比．
（2）土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出它在距土星中心3.2×10⁵km处受到土星的引力为0.38N．已知地球半径为6.4×10³km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

Answer 1

分析 （1）由万有引力提供向心力即可列式求解；
（2）根据万有引力公式直接列式比较即可求解．

解答 解：（1）设土星质量为M₀，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，据牛顿第二定律和万有引力定律有：
$G\frac{{M}_{0}m}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{G{M}_{0}}{r}}$
对于A、B两颗粒分别有：${v}_{A}=\sqrt{\frac{G{M}_{0}}{{r}_{A}}}$，${v}_{B}=\sqrt{\frac{G{M}_{0}}{{r}_{B}}}$
解得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\sqrt{\frac{{r}_{B}}{{r}_{A}}}=\sqrt{\frac{1.2×1{0}^{5}}{8.0×1{0}^{4}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ 
故岩石颗粒A和B的线速度之比为$\sqrt{6}：2$．
（2）设地球质量为M，地球半径为r₀，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m₀，在地球表面重力为G₀，距土星中心为：r₀′=3.2×10⁵ km处的引力为G₀′，根据万有引力定律有：
${G}_{0}=\frac{GM{m}_{0}}{{{r}_{0}}^{2}}$
G₀′=$\frac{G{M}_{0}{m}_{0}}{r{′}^{2}}$    
解得：$\frac{{M}_{0}}{M}=\frac{{G}_{0}′}{{G}_{0}}×（\frac{r′}{r}）^{2}$=$\frac{0.38}{10}×（\frac{3.2×1{0}^{5}}{6400}）^{2}$=95
故土星质量大约是地球质量的95倍．
答：（1）岩石颗粒A和B的线速度之比为$\sqrt{6}：2$．
（2）土星质量是地球质量的95倍．

点评 本题要掌握万有引力提供向心力和重力等于万有引力这两个关系，能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．