Question

15．有两颗人造地球卫星，甲离地面800km，乙离地面1600km，求（地球半径约为6400km）：
（1）两者的线速度之比；
（2）两者的周期之比．

Answer 1

分析 设地球的质量为M，静止在地面上的物体质量为m，根据地球表面重力等于向心力列式，再根据人造地球卫星做匀速圆周运动时由万有引力提供向心力列式，由以上两式即可求得该人造地球卫星的周期．

解答 解：（1）对卫星：由万有引力定律和牛顿第二定律得：
$G\frac{Mm}{{（{R}_{0}+h）}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{0}+h}$…①
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{0}+h}}$，所以：$\frac{{v}_{甲}}{{v}_{乙}}=\sqrt{\frac{{R}_{0}+{h}_{2}}{{R}_{0}+{h}_{1}}}=\sqrt{\frac{6400+800}{6400+1600}}=\sqrt{\frac{9}{10}}$
（2）万有引力定律和牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{{{{（{R_0}+h）}^2}}}=m（{R_0}+h）（\frac{2π}{T}）{\;}^2$…②
解得：$T=2π\sqrt{\frac{（{R}_{0}+h）^{3}}{GM}}$，
所以：$\frac{{T}_{甲}}{{T}_{乙}}=\sqrt{（\frac{{R}_{0}+{h}_{1}}{{R}_{0}+{h}_{2}}）^{3}}$
代入数据得：$\frac{{T}_{甲}}{{T}_{乙}}=\sqrt{{（\frac{10}{9}）}^{3}}$=$\frac{10\sqrt{10}}{27}$
答：（1）两者的线速度之比是$\sqrt{\frac{9}{10}}$；
（2）两者的周期之比是$\frac{10\sqrt{10}}{27}$．

点评 本题是万有引力提供向心力公式的直接应用，根据万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律分别写出与线速度、周期相关的公式即可正确解答，难度不大，属于基础题．