Question

12．某种弹射装置的示意图如图所示，光滑的水平导轨MN右端N处于倾斜传送带理想连接，传送带长度L=15.0m，皮带以恒定速率v=5m/s顺时针转动，三个质量均为m=1.0kg的滑块A、B、C置于水平导轨上，B、C之间有一段轻弹簧刚好处于原长，滑块B与轻弹簧连接，C未连接弹簧，B、C处于静止状态且离N点足够远，现让滑块A以初速度v₀=6m/s沿B、C连线方向向B运动，A与B碰撞后粘合在一起．碰撞时间极短，滑块C脱离弹簧后滑上倾角θ=37°的传送带，并从顶端沿传送带方向滑出斜抛落至地面上，已知滑块C与传送带之间的动摩擦因数μ=0.8，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）滑块A、B碰撞时损失的机械能；
（2）滑块C在传送带上因摩擦产生的热量Q；
（3）若每次实验开始时滑块A的初速度v₀大小不相同，要使滑块C滑离传送带后总能落至地面上的同一位置，则v₀的取值范围是什么？（结果可用根号表示）

Answer 1

分析 （1）A、B碰撞过程水平方向的动量守恒，由此求出二者的共同速度；由功能关系即可求出损失的机械能；
（2）A、B碰撞后与C作用的过程中ABC组成的系统动量守恒，应用动量守恒定律与能量守恒定律可以求出C与AB分开后的速度，C在传送带上做匀加速直线运动，由牛顿第二定律求出加速度，然后应用匀变速直线运动规律求出C相对于传送带运动时的相对位移，由功能关系即可求出摩擦产生的热量．
（3）应用动量守恒定律、能量守恒定律与运动学公式可以求出滑块A的最大速度和最小速度．

解答 解：（1）A与B位于光滑的水平面上，系统在水平方向的动量守恒，设A与B碰撞后共同速度为v₁，选取向右为正方向，对A、B有：
mv₀=2mv₁…①
碰撞时损失机械能$△E=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}（2m）v_1^2$…②
解得△E=9J
（2）设A、B碰撞后，弹簧第一次恢复原长时AB的速度为v_B，C的速度为v_C．
由动量守恒：2mv₁=2mv_B+mv_C…③
由机械能守恒：$\frac{1}{2}（2m）v_1^2=\frac{1}{2}（2m）v_B^2+\frac{1}{2}mv_C^2$…④
解得：v_c=4m/s
C以v_c滑上传送带，假设匀加速的直线运动位移为S时与传送带共速，由运动学公有：
式${a}_{1}=μgcosθ-gsinθ=0.8×10×0.8-10×0.6=0.4m/{s}^{2}$
结合：${v^2}-{v_c}^2=2{a_1}x$，
联立解得：x=11.25m＜L
加速运动的时间为t，有：$t=\frac{v-{v}_{C}}{{a}_{1}}=\frac{5-4}{0.4}=2.5s$…⑤
所以相对位移△x=vt-x
代入数据得：△x=1.25m…⑥
摩擦生热Q=umgcosθ•△x=8J
（3）设A的最大速度为v_max，滑块C与弹簧分离时C的速度为v_c1，AB的速度为v_B1，则C在传送带上一直做加速度为a₂的匀减速直线运动直到P点与传送带共速，有：${v^2}-{v_{c1}}^2=2{a_2}L$…⑦
加速度：${a_2}=-gsinθ-μgcosθ=-12.4m/{s^2}$
解得：${v_{c1}}=\sqrt{397}m/s$
设A的最小速度为v_min，滑块C与弹簧分离时C的速度为v_C2，AB的速度为v_B1，则C在传送带上一直做加速度为a₁的匀加速直线运动直到P点与传送带共速，有：${v^2}-{v_{c2}}^2=2{a_1}L$…⑧
解得：${v_{c2}}=\sqrt{13}m/s$．
对A、B、C和弹簧组成的系统从AB碰撞后到弹簧第一次恢复原长的过程中，有：
mv_max=2mv_B1+mc_C1…⑨
机械能守恒：$\frac{1}{2}（2m）v_1^2=\frac{1}{2}（2m）v_{B1}^2+\frac{1}{2}mv_{C1}^2$…⑩
解得${v_{max}}=\frac{3}{2}{v_{c1}}=\frac{3}{2}\sqrt{397}m/s$，
同理，${v_{min}}=\frac{3}{2}\sqrt{13}m/s$
所以$\frac{3}{2}\sqrt{13}m/s≤{v_0}≤\frac{3}{2}\sqrt{397}m/s$
答：（1）滑块A、B碰撞时损失的机械能是9J；
（2）滑块C在传送带上因摩擦产生的热量是8J；
（3）若每次实验开始时滑块A的初速度v₀大小不相同，要使滑块C滑离传送带后总能落至地面上的同一位置，则v₀的取值范围是$\frac{3}{2}\sqrt{13}m/s≤{v_0}≤\frac{3}{2}\sqrt{397}m/s$．

点评 本题着重考查碰撞中的动量守恒和能量守恒问题，同时借助传送带考查到物体在恒定摩擦力作用下的匀减速运动，还需用到平抛的基本知识，这是力学中的一道知识点比较多的综合题，学生在所涉及的知识点中若存在相关知识缺陷．