Question

如图所示，静放在水平面上的3/4圆形（半径为R）光滑管道ABC，C为最高点，B为最低点,管道在竖直面内。管道内放一小球，小球可在管道内自由移动，现用一装置将小球锁定在P点，过P点的半径OP与竖直方向的夹角为θ。现对管道施加一水平向右的恒力F，同时解除对小球的锁定，管道沿水平面向右做匀加速运动，小球相对管道仍保持静止。经过一段时间后管道遇一障碍物突然停止运动，小球能到达管道的A点。重力加速度为g，小球及管道大小不计。求：（1）恒力作用下圆形管道运动的加速度；（2）圆形管道从开始运动到突然停止过程中运动距离的可能值。

Answer 1

解：(1)小球受力如图，由力合成的平行四边形定则及牛顿第二定律得：mgtanθ＝ma;a=gtanθ

（2）设圆形管道从开始运动s到突然停止，停止前速度为v，由匀变速运动公式得:v2=2as　

圆形管道停止时，小球沿管道半径方向的速度变为零，沿切线方向的速度保持不变，小球能运动到管道右侧圆心上方至最高点C之间的区域则可到达A点，或从C点飞出做平抛运动到达A点。

若小球能运动到管道右侧圆心上方至最高点C之间的区域，则由机械能守恒得： 0≤h≤R

1/2m(vcosθ)2 =mg(Rcosθ +h)   　 联立以上相关各式得：R/sinθ≤s≤2R(1+cosθ)/2sin2θ

若小球从C点飞出做平抛运动到达A点，则由机械能守恒及平抛运动规律得： R=1/2gt2   R=vct

1/2m(vcosθ)2 =mgR(cosθ +1)+1/2mvc2   联立以上相关各式得 s=R(5+4cosθ)/2sin2θ　

圆形管道从开始运动到突然停止过程中运动距离的可能值为：

R/sinθ≤s≤2R(1+cosθ)/2sin2θ　及s=R(5+4cosθ)/2sin2θ