Question

5．如图所示，长木板置于光滑水平面上，在长木板的左端，有一个可视为质点的物块，长木板的质量M=2kg，物块的质量m=1kg，物块与长木板之间的动摩擦因数为μ=0.5，一开始物块与木板均静止，现对物块施加一个斜向右上的恒力F=10N，恒力F与水平方向成53°角，力F作用t=1s立即撤去恒力F．
（1）撤去恒力F瞬间，木板M和物块m的速度大小；
（2）若要物块不从长木板上脱落，长木板的长度L至少为多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin53°=0.8，cos53°=0.6，g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）撤去恒力F前对物块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律计算出两者的加速度，结合运动学公式计算出两者在1s末的速度，在此过程中要注意木板所受的滑动摩擦力充当其合力
（2）根据运动学公式计算出1s内物块和木板相对地面的位移x₁、x₂，由几何知识可知物块相对木板的位移s₁=x₁-x₂
（3）撤去恒力后物块在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动，木板做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律计算出两者的加速度，要注意此时物块和木板所受摩擦力要发生变化
（4）物块不从木板脱落的条件是物块到达木板左端时的速度不能大于木板的速度
（5）计算出自撤去外力后物块和木板相对地面的位移x₃、x₄，由此可以计算出此过程中物块相对于木板的位移s₂=x₃-x₄，则木板的长度L=s₁+s₂

解答 解：（1）设撤去恒力F前物块所受摩擦力为f₁、木板所受摩擦力为f₂；物块所受支持力为N₁、物块对斜面的压力为F_N1，物块的加速度大小为a₁，木板的加速度大小为a₂；撤去力F时物块的速度为v₁、木板的速度为v₂；撤去力F时物块相对于地面的位移为x₁、木板相对于地面的位移为x₂、物块相对木板的位移为s₁；
撤去恒力F前对物块进行受力分析，根据牛顿第二定律得：
Fcos53°-f₁=ma₁…①
f₁=μF_N1…②
F_N1=N₁…③
N₁=Fsin53°-mg…④
由②③④可得：f₁=μ（mg-Fsin53°）=1N…⑤
将⑤代入①可得：a₁=5m/s²；
根据v=v₀+at、x=$\frac{1}{2}$at²可得撤去恒力F时物块的速度v₁和物块相对地面的位移x₁：
v₁=a₁t
代入数据得：v₁=5m/s
x₁=$\frac{1}{2}$at₁²
代入数据得：x₁=2.5m     
撤去恒力F前对木板进行受力分析，根据牛顿第二定律得：
f₂=Ma₂…⑥
由牛顿第三定律可知f₂=f₁…⑦
由⑥⑦代入数据可得：a₂=0.5m/s²
根据v=v₀+at、x=$\frac{1}{2}$at²可得撤去恒力F时物块的速度v₁和物块相对地面的位移x₁：
 v₂=a₂t
代入数据得：v₂=0.5m/s
x₂=$\frac{1}{2}$at₂²
代入数据得：x₂=0.25m     

结合甲图可知：s₁=x₁-x₂=2.25m
（2）设撤去恒力F后物块所受摩擦力为f₃、木板所受摩擦力为f₄；物块所受支持力为N₂、物块对斜面的压力为F_N2，物块的加速度大小为a₃，木板的加速度大小为a₄；从撤去恒力经时间t₂物块到达木板最左端，此时物块、木板的速度为v₃、v₄；t₂时间内物块相对于地面的位移为x₃、木板相对于地面的位移为x₄、物块相对木板的位移为s₂；
      撤去恒力F后对物块进行受力分析，根据牛顿第二定律可得：
       f₃=ma₃
       f₃=μF_N2
       F_N2=mg
    由以上三式可得：f₃=μmg=5N，a₃=μg=5m/s²
    由运动学公式v=v₀+at可得：
   v₃=5-5t₂…⑧
 撤去恒力F后对木板进行受力分析，根据牛顿第二定律可得：
       f₄=Ma₄
       f₄=f₃
      由以上两式可得：a₄=2.5m/s²
 由运动学公式v=v₀+at可得：
   v₄=0.5+2.5t₂…⑨
根据运动学知识可知：v₃≤v₄是物块不从木板上脱落的条件，当v₃=v₄时木板的长度L最短，
由⑧⑨可得：5-5t₂=0.5+2.5t₂
解得：t₂=0.6s
由运动学公式x=v₀t+$\frac{1}{2}$at²可得：
x₃=5t₂-$\frac{1}{2}$×5t₂²
=2.1m
x₄=0.5t₂+$\frac{1}{2}$×2.5t₂²
=0.75m

结合乙图可知：s₂=x₃-x₄=1.35m
则板的长度L=s₁+s₂=3.6m，故要使物块不从木板上脱落，木板的长度至少为3.6m
答：（1）撤去恒力F瞬间，木板M和物块m的速度大小分别为5m/s、0.5m/s
       （2）若要物块不从长木板上脱落，长木板的长度L至少为3.6m

点评 （1）此题是典型的多过程问题，在分析是要注意物块和木板合力的变化
（2）正确的画出运动草图，并算出物块和木板的相对位移是关键
（3）物块不从木板脱落的条件是物块的速度不大于木板的速度，而不是物块的速度为零
（4）通过本题要明确理解物块不从木板脱落的条件，并在类似的问题中加以应用