Question

17．如图所示，半径为R的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上，轨道正上方和正下方分别有质量为2m和m的静止小球A、B，它们由长为2R的轻杆固定连接，圆环轨道内壁开有环形小槽，可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动，今对上方小球A施加微小扰动，两球开始运动后，下列说法正确的是（　　）

• A． 轻杆转到水平位置时两球的加速度大小相等
• B． 轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小相等
• C． 运动过程中A球速度的最大值为$\sqrt{\frac{4gR}{3}}$
• D． 当A球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为$\frac{13}{3}$mg

Answer 1

分析 本题的关键是明确球A与B组成的系统机械能守恒，球B减少的机械能应等于球A增加的机械能，通过球A减少的重力势能等于球B增加的重力势能和两球增加的动能之和即可求出球A的最大速度，再对A、B球应用牛顿第二定律和牛顿第三定律，可求出当A球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小．

解答 解：A、轻杆转到水平位置时，AB的线速度大小相等，根据$a=\frac{{v}^{2}}{R}$，两球沿水平方向的向心加速度大小相等，两球在竖直方向的加速度方向相反，大小不等，故合加速度大小也不相等的，故A错误．
B、轻杆转到竖直位置时，小球只受到竖直方向的合力，故只有向心加速度，两球的速度大小始终相等，根据$a=\frac{{v}^{2}}{R}$可知，轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小相等，故B正确．
C、两个球系统机械能守恒，当A球运动到最低点时，速度最大，有
2mg•2R-mg•2R=$\frac{1}{2}$（m+2m）v²
解得v=$\sqrt{\frac{4gR}{3}}$，故C正确．
D、在竖直位置时，设轨道对B球的弹力为F_NB，轨道对A球的弹力为F_NA
对B球 m_Bg+F_NB=m_B$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得F_NB=$\frac{1}{3}{m}_{B}g=\frac{1}{3}mg$
对A球F_NA-${m}_{A}g={m}_{A}\frac{{v}^{2}}{R}$
解得${F}_{NA}=\frac{14}{3}mg$
故轨道对AB两球的合力为F=${F}_{NA}-{F}_{NB}=\frac{14}{3}mg-\frac{1}{3}mg=\frac{13}{3}mg$
根据牛顿第三定律，当A球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为$\frac{13}{3}$mg
故D正确．
故选：BCD．

点评 本题考查机械能守恒定律及牛顿第二定律的应用，要明确两球的速度大小相等．