Question

如图所示，电阻忽略不计的、两根平行的光滑金属导轨竖直放置，其上端接一阻值为3Ω的定值电阻R．在水平虚线L₁、L₂间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场B、磁场区域的高度为d=0.5m．导体棒a的质量m_a=0.2kg，电阻R_a=3Ω；导体棒b的质量m_b=0.1kg，电阻R_b=6Ω．它们分别从图中M、N处同时由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动，且都能匀速穿过磁场区域，当b刚穿出磁场时a正好进入磁场．设重力加速度为g=10m/s²．（不计a、b之间的作用，整个运动过程中a、b棒始终与金属导轨接触良好）求：
（1）在整个过程中a、b两棒克服安培力分别做的功；
（2）a进入磁场的速度与b进入磁场的速度之比：
（3）分别求出M点和N点距虚线L₁的高度．

Answer 1

分析：（1）a、b在磁场中匀速运动，其安培力等于各自的重力，根据重力做功情况求出a、b两棒克服安培力分别做的功．
（2）a、b进入磁场都做匀速直线运动，受重力和安培力平衡，根据平衡，结合闭合电路欧姆定律和切割产生感应电动势大小公式，求出a、b做匀速直线运动的速度大小，从而求出两速度之比．
（3）根据a、b棒进入磁场中的速度之比，通过位移公式求出M点和N点距虚线L₁的高度之比，抓住当b刚穿出磁场时a正好进入磁场，有v_a=v_b+gt，d=v_bt结合a、b的速度比，求出M点和N点距虚线L₁的高度．

解答：解：（1）因a、b在磁场中匀速运动，其安培力等于各自的重力，由功的公式得
W_a=m_agd=1.0 J                    
W_b=m_bgd=0.5J                     
（2）b在磁场中匀速运动时：速度为v_b，总电阻R₁=7.5Ω
b中的电流I_b=

BLvb

R1

     ①
  

B2L2vb

R1

=mbg      ②
同理，a棒在磁场中匀速运动时：速度为v_a，总电阻R₂=5Ω：

B2L2va

R2

=mag    ③
由以上各式得：

vb

va

=

3

4

 ④
（3）v²=2gh             ⑤

hb

ha

=

9

16

   ⑥
v_a=v_b+gt          ⑦
d=v_bt                    ⑧
由④⑤⑥⑦⑧得ha=

4

3

 m=1.33 m   
hb=

3

4

 m=0.75 m                                             
答：（1）在整个过程中a、b两棒克服安培力分别做的功为1J、0.5J．
（2）a进入磁场的速度与b进入磁场的速度之比为4：3．
（3）M点和N点距虚线L₁的高度分别为1.33m、0.75m．

点评：解决本题的关键知道导体棒做匀速直线运动时，重力和安培力平衡，本题的难点在于通过a、b棒的速度关系以及a、b距离虚线L₁的高度比求出a、b距离虚线L₁的高度．