Question

14．如图所示，右端是四分之一圆弧的装置P，质量M=3.0kg，其水平段AB粗糙，圆弧段BC光滑，半径R=0.4m．现将P固定在光滑的水平地面上，一质量m=10kg的小物块（可视为质点）以速度v₀=4m/s从A端沿水平方向滑上P，恰能运动到圆弧的最高点C，物块与AB段的动摩擦因数μ=0.4，求：（g取10m/s²）
（1）AB段的长度L；
（2）若P不固定，物块在圆弧面上能上升的最大高度h；
（3）在满足（2）的条件下，通过计算判断物块是否会从P上掉落，若不掉落，最终物块距A点多远？

Answer 1

分析 （1）将P固定在光滑的水平地面上，小木块从A到C的过程中，根据动能定理求AB段的长度L．
（2）若P不固定，小木块在滑块上滑动过程，系统水平动量守恒，到达圆弧面上最大高度时两者速度相同，由动量守恒定律和能量守恒定律结合求物块在圆弧面上能上升的最大高度h．
（3）假设小木块不会从滑块上滑下，由动量守恒定律和能量守恒定律结合求出小木块在滑块上相对滑动的路程，再进行判断．

解答 解：（1）小木块从A到C的过程中，根据动能定理得：
-μmgL-mgh=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据得到：L=1m
（2）小木块在滑块上滑动过程，系统水平动量守恒，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有：
 mv₀=（M+m）v
当小木块滑到最高点的过程中，小木块和滑块组成的系统满足功能关系有：
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+mgh+μmgL
联立并代入数据解得：h=0.2m
（3）假设小木块不会从滑块上滑下，设小木块在滑块上相对滑动的路程为s，小木块和滑块组成的系统动量守恒，有：
mv₀=（M+m）v′
若小木块最终停止滑块上，系统满足功能关系：
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v^′2+μmgs
联立并代入数据解得：s=1.5m
由于s＜2L，所以小木块不会从滑块上滑下，最终小木块停止在距离A点0.5m处．
答：（1）AB段的长度L是1m；
（2）若P不固定，物块在圆弧面上能上升的最大高度h是0.2m．
（3）小木块不会从滑块上滑下，最终小木块停止在距离A点0.5m处．

点评 本题分析清楚物体的运动情况，明确能量的转化情况是关键．要注意P不固定时，系统在水平方向动量是守恒的，但总动量不守恒，整体过程中要注意能量是如何转化的．