Question

7．如图所示，水平放置的圆盘半径为R=1m，在其边缘C点固定一个高度不计的小桶，在圆盘直径CD的正上方放置一条水平滑道AB，滑道与CD平行．滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，其高度差为h=1.25m．在滑道左端静止放置质量为m=0.4kg的物块（可视为质点），物体与滑道间的动摩擦因数为μ=0.2．当用一大小为F=4N的水平向右拉力拉动物块的同时，圆盘从图示位置以角速度ω=2πrad/s，绕穿过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用一段时间后撤掉，物块在滑道上继续滑行，由B点水平抛出，恰好落入小桶内，重力加速度取10m/s²．
（1）若拉力作用时间为0.5s，求所需滑道的长度；
（2）求拉力作用时间满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）物块离开B点后做平抛运动，可以求出平抛运动的时间和平抛运动的初速度，物块在滑道上先匀加速运动再匀减速运动，两个运动的位移之和为滑道的长度．
（2）抓住物块滑行时间、抛出在空中时间与圆盘周期关系：t₁+t₂+t=nT（n=1、2、3…），求出拉力作用时间满足的条件．

解答 解：（1）物块平抛，竖直方向上有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}s=0.5s$．
物块离开滑道时的速度为：v=$\frac{R}{t}=\frac{1}{0.5}m/s=2m/s$．
拉动物块的加速度，由牛顿第二定律：F-μmg=ma₁；
代入数据解得：a₁=8m/s²
撤去外力后，由牛顿第二定律：-μmg=ma₂；
代入数据解得：a₂=-2m/s² 
匀加速运动的位移为：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}$×8×0.25m=1m  
匀加速运动的速度为：v₁=a₁t₁=8×0.5m/s=4m/s，
匀减速运动的位移为：${x}_{2}=\frac{{v}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{4-16}{-4}m=3m$，
板长L=x₁+x₂=4m．故所需滑道的长度为4m．
（2）盘转过一圈时间：T=$\frac{2π}{ω}$=1s
设加速、减速时间分别为t₁、t₂，则物块在滑道上先加速后减速，最终获得：
v=a₁t₁-a₂t₂，
物块滑行时间、抛出在空中时间与圆盘周期关系：
t₁+t₂+t=nT（n=1、2、3…）
故拉力作用的时间为：${t}_{1}=（\frac{n}{5}+0.1）s$（n=1、2、3…）
答：（1）所需滑道的长度为4m．
（2）拉力作用时间满足${t}_{1}=（\frac{n}{5}+0.1）s$（n=1、2、3…）

点评 解决本题的关键知道物块整个过程的运动：匀加速直线运动、匀减速直线运动和平抛运动，知道三个过程的运动时间与圆盘转动的时间相等．以及熟练运用运动学公式．