Question

16．如图所示，光滑直角细杆POQ固定在竖直平面内，OP边水平，与OQ边在O点用一小段圆弧杆平滑相连．质量均为m的两小环A、B用长为L的轻绳相连，分别套在OP和OQ杆上．初始时刻，将轻绳拉至水平位置伸直，然后同时释放两小环，A环到达O点后，在圆弧作用下速度大小不变，方向变为竖直向下（时间极短），已知重力加速度为g，下列说法正确的是 （　　）

• A． 当B环下落$\frac{L}{2}$时A环的速度大小为$\frac{\sqrt{gL}}{2}$
• B． A环到达O点的过程中，B环先加速后减速
• C． A环到达O点时速度大小为$\sqrt{gL}$
• D． A环到达O点后，再经$\sqrt{\frac{L}{2g}}$的时间能追上B环

Answer 1

分析 A与B下降的过程中系统的机械能守恒，先由速度的合成与分解求出A、B速度的关系，然后即可求出A、B在不同点的速度；
根据匀变速直线运动的公式即可求出A追上B的时间．

解答 解：B环下落一段位移后，设绳子与水平方向之间的夹角为α，则与竖直方向之间的夹角β=90°-α
设此时A的速度为v_A，将A的速度沿绳子方向与垂直于绳子的方向分解，设沿绳子方向的分速度为v，如图：

则：v=v_Acosα
设B的速度为vB，将B的速度也沿绳子的方向与垂直于绳子的方向分解如图，其中沿绳子方向的分速度与A沿绳子方向的分速度是相等的，则：
v=v_Bcosβ
所以：${v}_{B}=\frac{{v}_{A}cosα}{cosβ}=\frac{{v}_{A}cosα}{cos（90°-α）}=\frac{{v}_{A}}{tanα}$
A、当B环下落$\frac{L}{2}$时绳子与水平方向之间的夹角：$sinα=\frac{\frac{1}{2}L}{L}=\frac{1}{2}$
所以：α=30°
则：${v}_{B}=\frac{{v}_{A}}{tan30°}=\sqrt{3}{v}_{A}$
B下降的过程中A与B组成的系统机械能守恒，得：
$mg•\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
联立得A环的速度大小为：v_A=$\frac{\sqrt{gL}}{2}$．故A正确；
B、B开始下降的过程中速度由0开始增大，所以是做加速运动．当绳子与竖直方向之间的夹角接近90°时，tanβ→∞，则：${v}_{B}=\frac{{v}_{A}}{tanα}$→0．可知当A到达O点时，B的速度等于0．所以B一定还存在减速的过程．即A环到达O点的过程中，B环先加速后减速．故B正确；
C、由于A到达O点时B的速度等于0，由机械能守恒得：$\frac{1}{2}mv{′}_{A}^{2}=mgL$
所以：${v}_{A}′=\sqrt{2gL}$．故C错误；
D、环A过O点后做加速度大于g的匀加速直线运动，B做自由落体运动．
当A追上B时：${v}_{A}′t+\frac{1}{2}g{t}^{2}=L+\frac{1}{2}g{t}^{2}$
所以：t′=$\sqrt{\frac{L}{2g}}$．故D正确．
故选：ABD

点评 该题结合机械能守恒考查运动的合成与分解，解答的关键是能看到A与B的速度不一定大小相等，但它们沿绳子方向的分速度大小相等！