Question

15．如图所示，竖直放置固定的光滑半圆形轨道与光滑水平面AB相切于B点，半圆形轨道的最高点为C．轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端有一质量m=0.1kg的小球（小球与弹簧不拴接）．用力将小球向左推，小球将弹簧压缩一定量时，用轻绳固定住，此时弹簧的弹性势能E_p=5J，烧断细绳，弹簧将小球弹出．取g=10m/s²．求
（1）小球运动至B点时速度v_B的大小；
（2）若轨道半径R=1.6m，小球通过最高点C后落到水平面上的水平距离x；
（3）欲使小球能通过最高点C，则半圆形轨道的最大半径R_m．

Answer 1

分析 （1）弹簧释放过程，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即可求出小球获得的初速度，从而得到小球运动至B点时速度v_B的大小；
（2）小球从B到C的过程，小球的机械能守恒，由此求出小球通过C点的速度．小球离开C点后做平抛运动，根据平抛运动的规律求水平距离x．
（3）在C点，由重力和轨道的弹力的合力提供向心力．结合机械能守恒定律求极值．

解答 解：（1）弹簧释放过程，根据能量守恒得           
  E_P=$\frac{1}{2}m{V_B}^2$ ①
由①式得 v_B=10m/s           ②
（2）小球从B到C的过程，根据机械能守恒定律可得      
  $\frac{1}{2}m{V_B}^2$=$\frac{1}{2}m{V_C}^2$+mg2R    ③
根据平抛运动得            
  2R=$\frac{1}{2}g{t^2}$ ④
  x=v_Ct ⑤
由③④⑤联立得      x=4.8m     ⑥
（3）根据牛顿第二定律得            
  mg=$m\frac{{{V_C}{'^2}}}{R_m}$ ⑦
根据能量守恒得                
  $\frac{1}{2}m{V_B}^2$=$\frac{1}{2}m{V_C}{'^2}$+mg•2R_m ⑧
由 ⑦⑧联立得  R_m=2m          ⑨
答：
（1）小球运动至B点时速度v_B的大小是10m/s；
（2）若轨道半径R=1.6m，小球通过最高点C后落到水平面上的水平距离x是4.8m；
（3）欲使小球能通过最高点C，则半圆形轨道的最大半径R_m是2m．

点评 本题是机械能守恒、牛顿第二定律和平抛运动的综合，要掌握力学基本规律，明确圆周运动最高点的临界条件：重力等于向心力．