Question

11．在光滑的水平面上，并排放置着两个质量为m、长L的完全相同的A、B长木板．一质量为2m的小滑块，以一定的初速度v₀，从左侧冲上木板A，滑块与木板间的动摩擦因数为μ，要使滑块最终能停在木板B上，并以$\frac{5}{9}$v₀的速度共同运动．重力加速度为g，求：
（1）A、B木板分离时，木板A的速度大小．
（2）当小滑块与木板B共速时，木板A、B之间的距离是多少．
（3）若保持木板的质量m不变，讨论：木板的长度L与v₀、μ应满足什么关系才能确定小滑块能滑上木板B．

Answer 1

分析 （1）当C刚滑上B时，A、B木板开始分离，对三个物体组成的系统，由动量守恒定律求此时木板A的速度大小．
（2）A、B木板分离后，A做匀速运动，B做匀减速运动，对B运用动量定理求出时间，再由运动学公式求解小滑块与木板B共速时木板A、B之间的距离．
（3）当C滑到A的右端时，速度大于AB的速度，小滑块能滑上木板B．由动量守恒定律和能量守恒定律结合研究．

解答 解：（1）设A、B木板分离时，木板A的速度大小为v_A．最终B、C的共同速度为v．
对整个过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
   2mv₀=mv_A+（m+2m）v
据题 v=$\frac{5}{9}$v₀
解得 v_A=$\frac{1}{3}{v}_{0}$ 
（2）设从C滑上B到两者共速用时为t．
对B，由动量定理得：2μmgt=mv-mv_A；
解得 t=$\frac{{v}_{0}}{9μg}$
在此过程中，A的位移为 x_A=v_At=$\frac{{v}_{0}^{2}}{27μg}$
B的位移为 x_B=$\frac{{v}_{A}+v}{2}$t=$\frac{4{v}_{0}^{2}}{81μg}$
所以当小滑块与木板B共速时，木板A、B之间的距离是 S=x_B-x_A=$\frac{{v}_{0}^{2}}{81μg}$
（3）设C刚滑到A板右端时的速度为v_C，此时AB的速度为v_A′．
根据动量守恒定律得：
    2mv₀=（m+m）v_A′+2mv_C；
由能量守恒定律得
   $\frac{1}{2}$•2mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+m）v_A′²+$\frac{1}{2}$2mv_C²+μ•2mgL
当v_C＞v_A′时，小滑块就能滑上木板B
联立解得 L＜$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
答：（1）A、B木板分离时，木板A的速度大小是$\frac{1}{3}{v}_{0}$．
（2）当小滑块与木板B共速时，木板A、B之间的距离是$\frac{{v}_{0}^{2}}{81μg}$．
（3）若保持木板的质量m不变，木板的长度L与v₀、μ应满足关系：L＜$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$才能确定小滑块能滑上木板B．

点评 本题要明确研究的对象，分析清楚运动过程、选择恰当的过程，应用动量守恒定律、能量守恒定律、动量定理即可正确解题．