Question

5．如图所示为“割绳子”游戏中的一幅截图，游戏中割断左侧绳子糖果就会通过正下方第一颗星星，糖果一定能经过星星处吗？现将其中的物理问题抽象出来进行研究：三根不可伸长的轻绳共同系住一颗质量为m的糖果（可视为质点），设从左到右三根轻绳的长度分别为l₁、l₂和l₃，其中最左侧的绳子处于竖直且张紧的状态，另两根绳均处于松弛状态，三根绳的上端分别固定在同一水平线上，且相邻两悬点间距离均为d，糖果正下方的第一颗星星与糖果距离为h．已知绳子由松弛到张紧时沿绳方向的速度分量即刻减为零，现将最左侧的绳子割断，以下选项正确的是（　　）

• A． 只要满足l₂≥$\sqrt{（{l}_{1}+h）^{2}+{d}^{2}}$，糖果就能经过正下方第一颗星星处
• B． 只要满足l₃≥$\sqrt{（{l}_{1}+h）^{2}+4{d}^{2}}$，糖果就能经过正下方第一颗星星处
• C． 糖果可能以$\frac{mg{{l}_{2}}^{2}}{{d}^{2}}$（$\sqrt{{{l}_{2}}^{2}-{d}^{2}}$-l₁）的初动能开始绕中间悬点做圆运动
• D． 糖果到达最低点的动能可能等于mg[l₂-$\frac{（{{l}_{2}}^{2}-{d}^{2}）^{\frac{3}{2}}}{{{l}_{2}}^{2}}$-$\frac{{l}_{1}{d}^{2}}{{{l}_{2}}^{2}}$]

Answer 1

分析 糖果通过正下方第一颗星星前，绳2和绳3不能绷紧；绕中间点作圆周运动时，绳1被切断，绳2绷紧时有速度损失，可以由初态到绳2绷紧前使用动能定理求解；最低点之前可能有两次速度损失．

解答 解：AB、将最左侧的绳子割断，糖果在绳子拉直前做自由落体运动，绳2和绳3不能绷紧，后绕绳做圆周运动，则绕l₂运动而l₃未伸直，或绕l₃运动而l₂未伸直，要使就能经过正下方第一颗星星处，l₂和l₃需要同时满足的条件是：l₂≥$\sqrt{（{l}_{1}+h）^{2}+{d}^{2}}$和l₃≥$\sqrt{（{l}_{1}+h）^{2}+4{d}^{2}}$，故A、B错误；
 C、若l₃足够长，将最左侧的绳子割断，糖果自由下落h=（$\sqrt{{l}_{2}^{2}-{d}^{2}}-{l}_{1}$）后l₂刚刚伸直，糖果竖直下落h=（$\sqrt{{l}_{2}^{2}-{d}^{2}}-{l}_{1}$）后速度为 v=$\sqrt{2gh}$，方向竖直向下．
此时绳2绷紧后，沿绳方向的分速度即刻减为零，剩余垂直于绳子方向的速度，为 v₁=v•$\frac{d}{{l}_{2}}$
开始绕中间悬点做圆周运动的初动能 E_k1=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联立解得 E_k1=$\frac{mg{d}^{2}}{{l}_{2}^{2}}$（$\sqrt{{l}_{2}^{2}-{d}^{2}}-{l}_{1}$）．故C错误．
D、以C选项为初态，以糖果刚刚到达最低点为末态，由动能定理得 mg（l₃-$\sqrt{{l}_{2}^{2}-{d}^{2}}$）=E_k-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，解得：E_k=mg[l₃-$\frac{（{{l}_{2}}^{2}-{d}^{2}）^{\frac{3}{2}}}{{{l}_{2}}^{2}}$-$\frac{{l}_{1}{d}^{2}}{{{l}_{2}}^{2}}$]，由于绳子绷紧过程可能有两次速度损失而产生能量损失，故绷紧后动能会少于E_k，故D正确．
故选：D

点评 本题的关键要分析糖果的运动过程，运用几何关系研究下落的高度，运用动能定理求解速度．要注意绳子绷紧过程动能有损失．