Question

20．现要通过实验验证机械能守恒定律．实验装置如图1所示：水平桌面上固定一倾斜的气垫导轨；导轨上A点处有一带长方形遮光片的滑块，其总质量为M，左端由跨过轻质光滑定滑轮的细绳与一质量为m的砝码相连；遮光片两条长边与导轨垂直；导轨上B点有一光电门，可以测试遮光片经过光电门时的挡光时间t，用d表示A点到导轨低端C点的距离，h表示A与C的高度差，b表示遮光片的宽度，s表示A，B两点的距离，将遮光片通过光电门的平均速度看作滑块通过B点时的瞬时速度．用g表示重力加速度．

完成下列填空和作图；
（1）若将滑块自A点由静止释放，则在滑块从A运动至B的过程中，滑块、遮光片与砝码组成的系统重力势能的减小量可表示为Mg$\frac{h}{d}$s-mgs．动能的增加量可表示为$\frac{1}{2}$（m+M）$\frac{{b}^{2}}{{t}^{2}}$．若在运动过程中机械能守恒，$\frac{1}{{t}^{2}}$与s的关系式为$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{2（hM-dm）g}{（M+m）d{b}^{2}}$s．
（2）多次改变光电门的位置，每次均令滑块自同一点（A点）下滑，测量相应的s与t值，结果如表所示：

	1	2	3	4	5
S（m）	0.600	0.800	1.000	1.200	1.400
T（m/s）	8.22	7.17	6.44	5.85	5.43
1/t2（104s-2）	1.48	1.95	2.41	2.92	3.39

以s为横坐标，$\frac{1}{{t}^{2}}$为纵坐标，在图2坐标纸中描出第1和第5个数据点；根据5个数据点作直线，求得该直线的斜率k=2.39×10⁴m^-1•s^-2 （保留3位有效数字）．
由测得的h、d、b、M和m数值可以计算出$\frac{1}{{t}^{2}}$-s直线的斜率k₀，将k和k₀进行比较，若其差值在实验允许的范围内，则可认为此实验验证了机械能守恒定律．

Answer 1

分析 这是一个根据书本上验证机械能守恒定律的实验改装后的题目．
这题的关键在于研究对象不是单个物体而是滑块、遮光片与砝码组成的系统．
对于系统的重力势能变化量要考虑系统内每一个物体的重力势能变化量．动能也是一样．
光电门测量瞬时速度是实验中常用的方法．由于光电门的宽度b很小，所以我们用很短时间内的平均速度代替瞬时速度．
根据变量的数据作出图象，结合数学知识求出斜率．

解答 解：（1）滑块、遮光片下降重力势能减小，砝码上升重力势能增大．
所以滑块、遮光片与砝码组成的系统重力势能的减小量△E_P=Mg$\frac{h}{d}$s-mgs
光电门测量瞬时速度是实验中常用的方法．由于光电门的宽度b很小，所以我们用很短时间内的平均速度代替瞬时速度．
v_B=$\frac{b}{t}$
根据动能的定义式得出：
△E_k=$\frac{1}{2}$（m+M）v_B²=$\frac{1}{2}$（m+M）$\frac{{b}^{2}}{{t}^{2}}$
若在运动过程中机械能守恒，△E_k=△E_P
$\frac{1}{{t}^{2}}$与s的关系式为$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{2（hM-dm）g}{（M+m）d{b}^{2}}$s
（2）见图
运用数学知识求得斜率k=$\frac{（3.39-1.48）×1{0}^{4}}{（1.4-0.6）}$=2.39×10⁴m^-1•s^-2
由测得的h、d、b、M和m数值可以计算出$\frac{1}{{t}^{2}}$-s直线的斜率k_o=$\frac{2（hM-dm）g}{（M+m）d{b}^{2}}$
比较k与k_o，若其差值在试验允许的范围内，则可认为此试验验证了机械能守恒定律．
故答案为：（1）Mg$\frac{h}{d}$s-mgs，$\frac{1}{2}$（m+M）$\frac{{b}^{2}}{{t}^{2}}$，$\frac{2（hM-dm）g}{（M+m）d{b}^{2}}$s；
（2）如上图，2.39×10⁴m^-1•s^-2．

点评 这个实验对于我们可能是一个新的实验，但该实验的原理都是我们学过的物理规律．
做任何实验问题还是要从最基本的物理规律入手去解决．对于系统问题处理时我们要清楚系统内部各个物体能的变化．
求斜率时要注意单位和有效数字的保留．