Question

17．如图甲所示，水平传送带的长度L=6m，传送带皮带轮的半径都为R=0.25m，现有一小物体（可视为质点）以一定的水平速度v₀滑上传送带，设皮带轮顺时针匀速转动，当角速度为ω时，物体离开传送带B端后在空中运动的水平距离为s，若皮带轮以不同的角速度重复上述动作（保持滑上传送带的初速v₀不变），可得到一些对应的ω和s值，将这些对应值画在坐标上并连接起来，得到如图乙中实线所示的 s-ω图象，根据图中标出的数据（g取10m/s² ），求：

（1）B端距地面的高度h
（2）滑上传送带时的初速v₀以及物体和皮带间的动摩擦因数μ
（3）若在B端加一竖直挡板P，皮带轮以角速度ω′=16rad/s顺时针匀速转动，物体与挡板连续两次碰撞的时间间隔t′为多少？（物体滑上A端时速度仍为v₀，在和挡板碰撞中无机械能损失）

Answer 1

分析 （1）从图象中知，当ω=4rad/s时，物块匀减速运动到达B点的速度正好等于皮带的速度，根据水平位移求出时间，再根据时间求出高度．
（2）从图象中知，当0≤ω≤4rad/s时，物块的速度大于皮带的速度，物体一直做匀减速运动．有2μgL=v₀²-v₁²．当ω≥28rad/s时，水平位移不变，知物块一直做匀加速运动．有2μgL=v₂²-v₀²．分别求出v₂，v₁，联立两方程求出v₀和μ．
（3）由v′=ω′R求出传送带的速度．物体与挡板碰撞后向左减速至零，再向右加速，由牛顿第二定律和速度公式结合求解．

解答 解：（1）由图乙可知，当皮带轮以角速度ω₁=4rad/s时，
物体离开皮带做平抛运动的初速度为：v₁=ω₁ R=4×0.25m/s=1m/s
水平距离为s=0.5m，有：t=$\frac{s}{{v}_{1}^{\;}}$=$\frac{0.5}{1}s$=0.5s
h=$\frac{1}{2}g{t^2}$=$\frac{1}{2}×10×0．{5}_{\;}^{2}$=1.25m
（2）由图象可知：当ω≤ω₁=4rad/s时，物体在传送带上一直减速，
由牛顿第二定律得，加速度大小为a=μg
到达B点时的速度为v₁，有：v₀2-v₁2=2μgL
代入数据：${v}_{0}^{2}-{1}_{\;}^{2}=2μ×60$…①
当ω≥28rad/s时，物体在传送带上一直加速，
经过B点时的速度为：v₂=ω₂ R=7m/s，
有：v₂2-v₀2=2μgL
代入数据：${7}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}=2μ×60$…②
联立①②解得：μ=0.2             v₀=5m/s
（3）当ω′=16rad/s时，皮带速度为：v′=ω′R=16×0.25m/s=4m/s
物体以v₀=5m/s的速度开始减速，有：s′=$\frac{{（v_0^2-{v^{'2}}）}}{2a}$=$\frac{{5}_{\;}^{2}-{4}_{\;}^{2}}{2×2}$=2.25m＜L
故物体碰到挡板前已经减速到v′=4m/s，
由题意知物体和板碰撞前后的速度大小都是v′=4m/s
由运动的对称性得：t'=2 $\frac{v′}{a}$=$2×\frac{4}{2}$s=4s
答：（1）小物体的初速度v₀为5m/s，它与传送带间的动摩擦因数μ为0.2．
（2）B端距地面高度h为1.25m．
（3）物体与挡板连续两次碰撞的时间间隔是4s．

点评 解决本题的关键理清物块在传送带上运动的可能性，抓住临界状态，结合运动学公式进行分析．