Question

18．如图所示，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以v₀=1m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=0.5kg的长木板，已知木板上表面与圆弧轨道末端切线向平，木板下表面与水平地面之间的动摩擦因数μ₁=0.1，小物块与长木板间的动摩擦因数μ₂=0.6，圆弧轨道的半径为R=0.5m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=60°，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A、C两点的高度差；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．

Answer 1

分析 （1）小球从A点抛出做平抛运动，将C点的速度进行分解，求出竖直分速度的大小，从而根据竖直方向上的运动规律求出AC两点的高度差．
（2）求出C点的速度，对C到D运用动能定理求出到达D点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出物块对轨道的压力．
（3）当小物块刚好不从长木板滑出时，与木板具有相同的速度，根据牛顿第二定律和运动学公式求出共同的速度，分别求出物块和木板的位移，两者之差等于木板的最小长度．

解答 解：（1）小物块在C点速度大小为：v_C=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=2 m/s，
竖直分量：v_Cy=v_Csinθ=$\sqrt{3}$ m/s 
下落高度：h=$\frac{{v}_{Cy}^{2}}{2g}$=0.15m  
（2）小物块由C到D的过程中，由动能定理得：
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²；
代入数据解得：v_D=3m/s
小球在D点时由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
代入数据解得：F_N=28N  
由牛顿第三定律得F_N′=F_N=28N，方向竖直向下
（3）设小物块刚滑到木板左端达到共同速度，大小为v，小物块在木板上滑行的过程中，小物块与长木板的加速度大小分别为：
a₁=μ₂g=3 m/s²，
a₂=$\frac{{μ}_{2}mg-{μ}_{1}（M+m）g}{M}$=9 m/s²
速度分别为：v=v_D-a₁t，v=a₂t  
解得：t=$\frac{1}{5}$s
v=$\frac{9}{5}$m/s
物块的位移为：x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$=$\frac{12}{25}$m
木板的位移为：x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{9}{50}$m
则L≥x₁-x₂=0.3m，即木板的长度至少是0.3m．
答：（1）AC两点的高度差为0.15m．
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力为28N．
（3）木板的最小长度为0.3m．

点评 本题要理清物块的运动过程，抓住物块与木板的速度相等列式是关键，选择合适的规律进行求解．也可以根据动能定理和系统的能量守恒求解．