Question

9．带电粒子在电场、磁场中的运动如图所示，在直角坐标系x轴上方，有一半径为R的圆，该圆的圆心为O₁，圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，在x轴的下方有平行于x轴的匀强电场，场强大小为E，在A处有一带电的粒子（质量为m、电荷量为q），以初速度v₀垂直x轴进入磁场，经偏转后射出磁场，又经过一段时间后从x轴上的C点垂直进入电场，若OA=OC=$\frac{2}{3}$R（粒子重力不计），求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B；
（2）粒子在匀强磁场中运动的时间；
（3）粒子进入电场后到达y轴上D点时的速率及坐标．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做圆周圆周运动，作出粒子的运动轨迹，然后求出粒子的轨道半径，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律看运气求出磁感应强度．
（2）求出粒子在磁场中转过的圆心角，然后根据粒子做圆周运动的周期求出粒子在磁场中的运动时间．
（3）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动的规律求出粒子到达D点的速度，求出D的坐标．

解答 解：粒子运动轨迹如图所示：
（1）由几何知识可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r=$\frac{2}{3}$R，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{2qR}$；
（2）粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πR}{3{v}_{0}}$，
粒子在磁场中转过半个圆周，粒子在磁场中的运动时间：t=$\frac{1}{2}$T=$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$；
（3）粒子在电场中做类平抛运动，
在竖直方向：y=v₀t，
在水平方向：$\frac{2}{3}$R=$\frac{1}{2}$at²，
由牛顿第二定律得：a=$\frac{qE}{m}$，
水平方向的分速度：v_x=at，
粒子到达D点的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}$，
解得：y=2v₀$\sqrt{\frac{mR}{3qE}}$，v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{4qER}{3m}}$；
答：（1）匀强磁场的磁感应强度B为$\frac{3m{v}_{0}}{2qR}$；
（2）粒子在匀强磁场中运动的时间为$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$；
（3）粒子进入电场后到达y轴上D点时的速率为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{4qER}{3m}}$，坐标为：（0，-2v₀$\sqrt{\frac{mR}{3qE}}$）．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、类平抛运动规律可以解题．