Question

16．两个人造卫星的质量分别为m₁和m₂，绕地球运动的轨道半径是r₁和r₂，若它们只受到地球引力的作用，分别求这两个人造卫星运动的环绕速度之比、周期之比和向心加速度之比．

Answer 1

分析 卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列式解得线速度、周期和向心加度与轨道半径的关系式，再求解．

解答 解：卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=ma=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，绕地球运动的轨道半径是r₁和r₂，所以这两个人造卫星运动的环绕速度之比是$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，绕地球运动的轨道半径是r₁和r₂，所以这两个人造卫星运动的周期之比是$\sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}}$，
a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，绕地球运动的轨道半径是r₁和r₂，所以这两个人造卫星运动的向心加速度之比是$\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$，
答：这两个人造卫星运动的环绕速度之比、周期之比和向心加速度之比分别是$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$、$\sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}}$和$\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，会根据该规律判断线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系．