Question

3．一足够长的粗细均匀的杆被一细绳吊于高处，杆下端离地面高H，上端套一个细环，如图所示．断开轻绳，杆和环自由下落，假设杆与地面发生碰撞时触地时间极短，无动能损失，杆立即获得等大反向的速度．已知杆和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（重力加速度为g，
k＞1）．杆在整个过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：
（1）杆第一次与地面碰撞弹起上升的过程中，环的加速度
（2）杆与地面第二次碰撞前的瞬时速度
（3）从断开轻绳到杆和环静止，摩擦力对环和杆做的总功．

Answer 1

分析 （1）在杆上升的过程中，环要受到重力的作用，同时由于环向下运动而棒向上运动，环还要受到杆的向上的摩擦力的作用，根据牛顿第二定律列式可以求得加速度的大小；
（2）根据动能定理求出杆第一次落地的速度大小，然后根据顿第二定律求出杆弹起后的加速度，最后根据运动学公式可以求得杆与地面第二次碰撞前的瞬时速度；
（3）整个过程中能量的损失都是由于摩擦力对物体做的功，所以根据能量的守恒可以较简单的求得摩擦力对环和杆做的总功．

解答 解：（1）设杆第一次上升的过程中环的加速度为a，
根据牛顿第二定律可得，kmg-mg=ma，
解得：a=（k-1）g，方向竖直向上．
（2）杆第一次落地的速度大小为v₁，
由动能定理得，2mgH=$\frac{1}{2}$2m${v}_{1}^{2}$-0，
解得：v₁=$\sqrt{2gH}$，
杆弹起后的加速度为a′，
根据牛顿第二定律可得，mg+kmg=ma′，
解得：a′=（k+1）g，方向竖直向下，
从落地经时间t₁达到共同速度，
则有：v₁-at₁=-v₁+a′t₁，
解得：t₁=$\frac{2{v}_{1}}{a+{a}^{′}}$=$\frac{2{v}_{1}}{（k-1）g+（k+1）g}$=$\frac{{v}_{1}}{kg}$，
共同速度为：${v}_{1}^{′}$=v₁-at₁=v₁-（k-1）g×$\frac{{v}_{1}}{kg}$=$\frac{{v}_{1}}{k}$，
杆上升的高度：h₁=v₁t₁-$\frac{1}{2}$a′${t}_{1}^{2}$=$\frac{（k-1）H}{{k}^{2}}$，
所以杆第二次落地时的速度：
v₂=$\sqrt{v{′}_{1}^{2}+2g{h}_{1}}$=$\sqrt{\frac{2gH}{k}}$，方向竖直向下．
（3）经过足够长的时间杆和环最终静止，
设这一过程中它们相对滑动的总路程为l，
由能量的转化和守恒定律有：
mgH+mg（H+l）=kmgl，
解得：l=$\frac{2H}{k-1}$，
则摩擦力对环和棒做的总功：
W=-kmgl=-$\frac{2kmgH}{k-1}$．
答：（1）环的加速度为（k-1）g，方向竖直向上；
（2）杆与地面第二次碰撞前的瞬时速度为$\sqrt{\frac{2gH}{k}}$，方向竖直向下；
（3）从断开轻绳到杆和环静止，摩擦力对环和杆做的总功为-$\frac{2kmgH}{k-1}$．

点评 本题考查功能关系以及牛顿第二定律的综合应用，属于力学综合问题，注意：求摩擦力总功应用能量的守恒来解决本题可以很简单的求出结果，
这样既能够简化解题的过程还可以节约宝贵的时间，所以在平时一定要考虑如何解题能够简单快捷．