如图所示.可视为质点的三个物块A.B.C质量分别为m1.m2.m3.三物块间有两根轻质弹簧a.b.其原长均为l0.劲度系数分别为ka.kb．a的两端与物块连接.b的两端与物块只接触不连接.a.b被压缩一段距离后.分别由质量忽略不计的硬质连杆锁定.此时b的长度为l.整个装置竖直置于水平地面上.重力加速度为g.不计空气阻力．(1)现解除对a的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．

如图所示，可视为质点的三个物块A、B、C质量分别为m₁、m₂、m₃，三物块间有两根轻质弹簧a、b，其原长均为l₀，劲度系数分别为k_a、k_b．a的两端与物块连接，b的两端与物块只接触不连接，a、b被压缩一段距离后，分别由质量忽略不计的硬质连杆锁定，此时b的长度为l，整个装置竖直置于水平地面上，重力加速度为g，不计空气阻力．
（1）现解除对a的锁定，若当B到达最高点时，A对地面压力恰为零，求此时C距地面的高度H；
（2）在B到达最高点瞬间，解除a与B的连接并撤走A与a，同时解除对b的锁定．设b恢复形变时间极短，此过程中弹力冲量远大于重力冲量，求C的最大速度的大小v₃（理论表明弹簧的弹性势能可以表示为E_p=$\frac{1}{2}$k△x²，其中，k为弹簧的劲度系数，△x为弹簧的形变量）；
（3）求C自b解锁瞬间至恢复原长时上升的高度h．

分析（1）对A分析，根据胡克定律和共点力平衡求出a弹簧的伸长的长度△x₂．即可求得C距地面的高度
（2）解除aB连接后，当B弹簧恢复原长时，C的速度最大为v₃，此时B的速度为v₂，因为不考虑重力的影响，BC组成的系统动量守恒，结合动量守恒定律和机械能守恒定律求出球C的最大速度的大小．
（3）结合动量守恒定律，求出C自b解锁瞬间至恢复原长时上升的高度．

解答解：（1）解锁之前a弹簧的压缩量为x₁，由（m₂+m'₃）g=k_ax₁可得${x}_{1}=\frac{{（m}_{2}+{m}_{3}）g}{{k}_{a}}$
BC到达最高点时，弹簧伸长△x₂，有
m₁g=k_a△x₂，求得$△{x}_{2}=\frac{{m}_{1}g}{{k}_{a}}$．
此时此时C距地面的高度H=$l+{l}_{0}+{x}_{2}=l+{l}_{0}+\frac{{m}_{1}g}{{k}_{a}}$
（2）解除aB连接后，当B弹簧恢复原长时，C的速度最大为v₃，此时B的速度为v₂，因为不考虑重力的影响，BC组成的系统动量守恒，规定C的速度方向为正方向，
有m₃v₃-m₂v₂=0
此过程中BC和弹簧组成的系统机械能守恒，
有 $\frac{1}{2}$m₃${v}_{3}^{2}$+$\frac{1}{2}$m₂${v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$k_b（l₀-l）²，
求得v₃=$\sqrt{\frac{{m}_{2}{k}_{b}}{{m}_{2}{m}_{3}{+m}_{3}^{2}}}（{l}_{0}-l）$
（3）设从解除a与B的连接到C的速度达到最大所用的时间为△t，此过程中B和C移动的距离分别是h₂，h₃．有m₃v₃△t-m₂v₂△t=0，
即：m₂h₂-m₃h₃=0，
且：h₂+h₃=（l₀-l），
求得：h₃=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{2}+{m}_{3}}$（l₀-l）．
答（1）现解除对a的锁定，若当B到达最高点时，A对地面压力恰为零，此时C距地面的高度H为$l+{l}_{0}+\frac{{m}_{1}g}{{k}_{a}}$；
（2）C的最大速度的大小v₃ $\sqrt{\frac{{m}_{2}{k}_{b}}{{m}_{2}{m}_{3}{+m}_{3}^{2}}}（{l}_{0}-l）$
（3）求C自b解锁瞬间至恢复原长时上升的高度h为=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{2}+{m}_{3}}$（l₀-l）

点评本题考查了牛顿第二定律、共点力平衡、动量守恒定律、机械能守恒定律、胡克定律的综合运用，综合性较强，对学生的能力要求较高．知道BC整体做简谐运动的对称性．

练习册系列答案

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