Question

3．“神舟七号”是由“长征-2F”运载火箭将其送入近地点为A，远地点为B的椭圆轨道上，“神舟七号”实施变轨后，进入预定轨道2，其简化的模拟轨道如图所示，假设近地点A距地面高度为h，飞船在预定圆轨道2上飞行的线速度大小为v，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R．求：
（1）飞船在近地点A的加速度a_A大小；
（2）飞船在预定圆轨道2上飞行的周期T．

Answer 1

分析 （1）飞船在近地点A时，万有引力产生加速度，由牛顿第二定律列出加速度a_A的表达式．由地球表面的重力加速度为g，地球半径R，根据重力近似等于物体的重力列出地球质量的表达式，联立两个表达式求解加速度a_A大小．
（2）先根据万有引力定律求出轨道半径，再根据圆周运动的公式$v=\frac{2πr}{T}$可求出周期

解答 解：（1）设地球质量为M，飞船质量为m，根据牛顿第二定律有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m{a}_{A}^{\;}$…①
而地球表面物体重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$…②
得：$GM=g{R}_{\;}^{2}$
联立解得：${a}_{A}^{\;}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{2}}$
（2）在圆轨道2上轨道半径为r，根据万有引力提供向心力：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得：$r=\frac{GM}{{v}_{\;}^{2}}$=$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{v}_{\;}^{2}}$
根据圆周运动周期公式有：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πg{R}_{\;}^{2}}{{v}_{\;}^{3}}$
答：（1）飞船在近地点A的加速度a_A大小为$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{2}}$；
（2）飞船在预定圆轨道2上飞行的周期T为$\frac{2πg{R}_{\;}^{2}}{{v}_{\;}^{3}}$．

点评 本题属于卫星类型问题，往往根据万有引力提供向心力求解卫星的速度，其中比较隐含的是由地球表面的重力加速度为g，地球半径R可求出地球的质量．