Question

12．如图所示，是竖直平面内的光滑圆弧轨道，半径为R，已知∠AOB=60°，轨道上的最低点B的切线沿水平方向，轨道上端A点距水平地面高度为H，质量为m的小球（可视为质点）从轨道上的A点由静止释放，经轨道下端的B点水平飞出，最后落在水平地面上的C点，若空气阻力可以忽略不计，重力加速度为g，求：
（1）小球运动到B点时，轨道对它的支持力多大？
（2）小球落地点C与B点的水平距离x为多少？
（3）当H与R满足什么关系时，小球落地点C与B点的水平距离x最大；这个水平距离的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）小球由A→B过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律及向心力公式列式求解轨道的支持力；
（2）小球从B点抛出后做平抛运动，根据平抛运动的位移公式求解水平位移；
（3）根据机械能守恒定律和平抛运动的规律得到水平距离x与R、H的关系式，再利用数学知识分析水平位移的表达式即可求解．

解答 解：（1）小球从A点运动到B点的过程中，机械能守恒，设在B点的速度为v_B，根据机械能守恒定律有：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_B²
得：v_B=$\sqrt{gR}$
设小球在B点时所受轨道的支持力为F_N，对小球在B点根据牛顿第二定律有：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立可解得：F_N=2mg
（2）小球离开B点后做平抛运动．
沿竖直方向有：H-R=$\frac{1}{2}$gt²
沿水平方向有：x=v_Bt 
联立解得：x=$\sqrt{2R（H-R）}$
（3）根据数学知识可得：$\sqrt{R（H-R）}$≤$\frac{R+H-R}{2}$
当R=H-R时，$\sqrt{R（H-R）}$有最大值，即$\frac{R}{H}$=$\frac{1}{2}$时，x有最大值，且x的最大值为：
x_max=$\frac{\sqrt{2}}{2}$H
答：（1）小球运动到B点时，轨道对它的支持力是2mg．
（2）小球落地点C与B点的水平距离x为$\sqrt{2R（H-R）}$．
（3）当H与R满足$\frac{R}{H}$=$\frac{1}{2}$关系时，小球落地点C与B点的水平距离x最大；这个水平距离的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$H．

点评 本题关键对两个的运动过程分析清楚，然后选择机械能守恒定律和平抛运动规律列式研究．对于极值问题，往往根据物理规律得到解析式，再由数学知识求解．