Question

11．如图甲所示，一个质量为M的木板静止在光滑的水平桌面上，用劲度系数为k的轻弹簧将板连在竖直墙上，开始时弹簧处于原长．一质量为m的物块（可视为质点）从木板左端以初速度v₀滑上长木板，最终恰好停在长木板的右端．通过传感器、数据采集器、计算机绘制出物块和木板的v-t图象，如图乙所示，其中A为物块的v-t图线，B为木板的v-t图线且为正弦函数图线．根据图中所给信息，求：
（1）物块与木板间的滑动摩擦因数μ；
（2）从开始到t=$\frac{T}{4}$s系统产生的热量Q；
（3）若物块从木板左端以更大的初速度v₁滑上长木板，则初速度v₁取何值时，才能让木板与弹簧组成的系统最终获得最大的机械能．

Answer 1

分析 （1）根据v-t图象可知物体做匀减速直线运动，根据速度公式和牛顿第二定律联立求解；
（2）当t=$\frac{T}{4}$时木板速度达到最大，加速度为零，由平衡可求的弹簧的压缩量，根据运动学公式求出木块的位移，根据产生的热量Q=f△x即可求出热量；
（3）当$t=\frac{T}{2}$时物块刚好脱离木板，此时木板相对地面向右运动的位移最大，摩擦力对木板做的正功最大，木板与弹簧构成的系统获得最大的机械能，根据相对位移关系即可求解．

解答 解：（1）由图象可知物块做匀减速运动，t=T时停止．
由v=v₀+at得：
物块的加速度为：$a=\frac{{v}_{0}}{T}$…①
对物块由牛顿第二定律得：μmg=ma…②
①②联立得：$μ=\frac{{v}_{0}}{gT}$
（2）当t=$\frac{T}{4}$时木板速度达到最大，加速度为零，由平衡得：kx=μmg
解得；$x=\frac{μmg}{k}=\frac{m{v}_{0}}{kT}$
从开始到t=$\frac{T}{4}$时木块的位移为：$s={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{7{v}_{0}T}{32}$
所以产生的热量为：$Q=f△s=f（s-x）=μmg（\frac{7{v}_{0}T}{32}-\frac{m{v}_{0}}{kT}）=\frac{7m{{v}_{0}}^{2}}{32}-\frac{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{k{T}^{2}}$
（3）当$t=\frac{T}{2}$时物块刚好脱离木板，此时木板相对地面向右运动的位移最大，摩擦力对木板做的正功最大，木板与弹簧构成的系统获得最大的机械能．
木块的位移为：${s}_{1}={v}_{1}\frac{T}{2}-\frac{1}{2}a（\frac{T}{2}）^{2}=\frac{{v}_{1}T}{2}-\frac{{v}_{0}T}{8}$
木板的位移为：${s}_{2}=2x=\frac{2m{v}_{0}}{kT}$
木块以初速度滑上长木板，最终恰好停在长木板的右端，则板长$L=\frac{{v}_{0}T}{2}$
木块脱离木板，有：s₁-s₂=L
代入数据得：v₁═$\frac{5{v}_{0}}{4}+\frac{4m{v}_{0}}{k{T}^{2}}$
答：（1）物块与木板间的滑动摩擦因数μ$\frac{{v}_{0}}{gT}$；
（2）从开始到t=$\frac{T}{4}$s系统产生的热量Q$\frac{7m{{v}_{\;}}^{2}}{32}-\frac{{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{k{T}^{2}}$；
（3）初速度v₁为$\frac{5{v}_{0}}{4}+\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{k{T}^{2}}$时才能让木板与弹簧组成的系统最终获得最大的机械能．

点评 本题是关于对运动问题，关键时通过受力分析判断物体的运动状态，然后根据位移关系和运动学公式及Q=f△x列式求解即可．