Question

7．电视机显像管（抽成真空玻璃管）的成像原理主要是靠电子枪产生高速电子束，并在变化的磁场作用下发生偏转，打在荧光屏不同位置上发出荧光而成像．显像管的原理示意图（俯视图）如图甲所示，在电子枪右侧的偏转线圈可以产生使电子束沿纸面发生偏转的磁场（如图乙所示），其磁感应强度B=μNI，式中μ为磁常量，N为螺线管线圈的匝数，I为线圈中电流的大小．由于电子的速度极大，同一电子穿过磁场过程中可认为磁场没有变化，是稳定的匀强磁场．

已知电子质量为m，电荷量为e，电子枪加速电压为U，磁通量为μ，螺线管线圈的匝数为N，偏转磁场区域的半径为r，其圆心为O点．当没有磁场时，电子束通过O点，打在荧光屏正中的M点，O点到荧光屏中心的距离OM=L．若电子被加速前的初速度和所受的重力、电子间的相互作用力以及地磁场对电子束的影响均可忽略不计，不考虑相对论效应以及磁场变化所激发的电场对电子束的作用．
（1）求电子束经偏转磁场后打到荧光屏上P点时的速率；
（2）若电子束经偏转磁场后速度的偏转角θ=60°，求此种情况下电子穿过磁场时，螺线管线圈中电流I₀的大小；
（3）当线圈中通入如图丙所示的电流，其最大值为第（2）问中电流的0.5倍，求电子束打在荧光屏上发光形成“亮线”的长度．

Answer 1

分析 （1）电子在加速电场中，由动能定理求解获得的速度v的大小，洛伦兹力不做功，故此速度大小电子束经偏转磁场后打到荧光屏上P点时的速率；
（2）根据几何关系求出临界状态下的半径的大小，结合洛伦兹力提供向心力求出磁感应强度的大小，进而由磁感应强度B=μNI确定螺线管线圈中电流I₀的大小．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，出磁场做匀速直线运动，通过最大的偏转角，结合几何关系求出荧光屏上亮线的长度．

解答 （1）设经过电子枪加速电场加速后，电子的速度大小为v，根据动能定理有：eU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）设电子在磁场中做圆运动的半径为R，运动轨迹如答图所示．
根据几何关系有：$tan\frac{θ}{2}=\frac{r}{R}$，
洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有：evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
由题知B=μNI₀，
解得：I₀=$\frac{\sqrt{6meU}}{3rμeN}$；
（3）设线圈中电流为0.5I₀时，偏转角为θ₁，此时电子在屏幕上落点距M点最远．
此时磁感应强度${B}_{1}=0.5μN{I}_{0}=\frac{B}{2}$，
轨迹圆半径${R}_{1}=\frac{mv}{e{B}_{1}}=2R=2\sqrt{3}r$，
$tan\frac{{θ}_{1}}{2}=\frac{r}{{R}_{1}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
电子在屏幕上落点距M点最远距离$y=Ltan{θ}_{1}=\frac{4\sqrt{3}}{11}L$，
亮线长度Y=2y=$\frac{8\sqrt{3}}{11}L$．
答：（1）电子束经偏转磁场后打到荧光屏上P点时的速率$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）若电子束经偏转磁场后速度的偏转角θ=60°，此种情况下电子穿过磁场时，螺线管线圈中电流I₀的大小为$\frac{\sqrt{6meU}}{3rμeN}$；
（3）当线圈中通入如图丙所示的电流，其最大值为第（2）问中电流的0.5倍，电子束打在荧光屏上发光形成“亮线”的长度为$\frac{8\sqrt{3}}{11}L$．

点评 对于带电粒子在磁场中的运动情况分析，一般是确定圆心位置，根据几何关系求半径，结合洛伦兹力提供向心力求解未知量；根据周期公式结合轨迹对应的圆心角求时间．