Question

11．如图所示，环形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R，外圆半径为（1+$\sqrt{2}$）R，两圆的圆心（重合）处不断向外发射电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子所受重力及粒子间相互作用，粒子发射速度方向都水平向右，而速度大小都不同，导致一部分粒子从外圆飞出磁场，而另一部分粒子第一次出磁场是飞入内圆．
（1）如果粒子从外圆飞出磁场，求粒子的速度大小范围．
（2）如果粒子从外圆飞出磁场，求这些粒子在磁场中运动的时间范围．
（3）如果粒子第一次出磁场是飞入内圆，求这些粒子从进入磁场到第一次出磁场所用的时间范围．

Answer 1

分析 （1）当粒子的轨迹和外圆相切时，根据几何关系求出半径，由洛伦兹力提供向心力求出速度${v}_{1}^{\;}$，粒子要从外圆飞出，则粒子速度$v＞{v}_{1}^{\;}$
（2）刚好从外圆飞出时，粒子在磁场中运动的时间最长，求出最长时间，即可求出这些粒子在磁场中运动的时间范围；
（3）粒子第一次出磁场是飞入内圆，求出轨迹圆弧所对圆心角范围，结合周期公式，即可得出这些粒子从进入磁场到第一次出磁场所用的时间范围

解答 解：（1）粒子射出的速度大小不同，轨迹圆的半径不同，设刚好与外圆相切时，轨迹圆半径为r₁，如图所示
由几何关系有：（$\sqrt{2}R$+R-r₁）²=R²+${r}_{1}^{2}$
得：r₁=R
洛伦兹力提供向心力，有：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
联立得：v₁=$\frac{qBR}{m}$
如果粒子从外圆飞出，则粒子的速度为：v＞$\frac{qBR}{m}$
（2）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则有：
T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
刚好从外圆飞出时，粒子在磁场中运动的时间最长，其轨迹圆弧对应的圆心角为θ=$\frac{3π}{4}$
则从外圆飞出磁场的粒子在磁场中运动的时间t₁＜$\frac{\frac{3π}{4}}{2π}T$，得0＜t₁＜$\frac{3πm}{4qB}$
（3）若粒子第一次出磁场是飞入内圆，则其轨迹圆弧所对圆心角范围为：π＜θ＜$\frac{3}{2}$π
飞入内圆的粒子在磁场中运动的时间t₂满足：$\frac{T}{2}$＜t₂＜$\frac{\frac{3π}{2}}{2π}T$
得：$\frac{πm}{qB}$＜t₂＜$\frac{3πm}{2qB}$
答：（1）如果粒子从外圆飞出磁场，粒子的速度大小范围$v＞\frac{qBR}{m}$．
（2）如果粒子从外圆飞出磁场，这些粒子在磁场中运动的时间范围$0＜{t}_{1}^{\;}＜\frac{3πm}{4qB}$．
（3）如果粒子第一次出磁场是飞入内圆，这些粒子从进入磁场到第一次出磁场所用的时间范围$\frac{πm}{qB}＜{t}_{2}^{\;}＜\frac{3πm}{2qB}$

点评 本题考查带电粒子在磁场及电场中的运动，要注意正确分析物理过程，明确带电粒子在磁场中的圆周运动，灵活应用几何关系求解，注意粒子的周期运动．